Çözüldü Geometrik Dizi - Üçüncü Derece Denklem

Bu sorunun kaynağı nedir acaba?..Olimpik bir soruya benziyor.

Ricâ ederim.
Ben de, bana sorunun olimpik bir havası var gibi geldi de -ki, soru olimpiktir- ondan sordum. Çünkü 3 tane r -üçüncü dereceden denklemin diskriminantı>0 dır- var ve soru biraz da eksik gibi.
Soru; "ortak çarpanı irrasyonel olmayan bir geometirik dizinin..." diye başlamalıydı bana göre... Bu terkible başlaması soruyu daha entellektüel ve daha etkileyici yapıyor.)

Bu arada siteye hoş geldiniz Serkan Hocam.. Böyle dersek, sanırım hata etmiş olmayız.

Sayın Cem Hocamızın çözümü imageshack.us'den silindiği için:
İlk dört terim sırasıyla x, y, z, t ve ortak çarpan (oran) r ise;
y = x·r....(I)
z = x·(r^2)....(II)
t = x·(r^3) = y + 30 = x·r + 30 ⇒ x = 30 / (r^3 - r)....(III)

Test Çözümü (problemde verilen ilk eşitlik gerekmeden):
a, b ∈ N^(+)
r = a / b....(IV)
(IV) ifadesi (III) eşitliğinde kullanılırsa;
x = 30·(b^3) / [ a(a - b)(a + b) ]....(V)
Seçeneklere göre x ∈ N^(+) olduğundan (V) eşitliğinde a > b olması gerektiği için (ve x bir sayma sayısı kalacak şekilde);
a = 2 ve b = 1 için x = 5
a = 3 ve b = 2 için x = 16 bulunur.
---
Klasik Sınav Çözümü:
x + y + z + t = 76....(VI)
İlk terim ve (I), (II), (III) eşitlikleri (VI) bağıntısında yerlerine konup düzenlenirse;
x = 76 / (r^2 + r + 1)....(VII)
(III) ve (VII) numaralı denklemlerden;
30 / (r^3 - r) = 76 / (r^2 + r + 1) ve r değişkenine bağlı 3. derece bir denklem olarak yazılırsa;
38r^3 - 15r^2 - 53r - 15 = 0 olup Rasyonel Kök Teoremi [Rational Zero (Root) Theorem] gereğince son terim olan 15 sayısının çarpanları 1, 3, 5, 15 ve en büyük dereceli terimin katsayısı olan 38 sayısının çarpanları da 1, 2, 19, 38 olduğundan reel köklerden biri;
∓1, ∓1 / 2, ∓1 / 19, ∓1 / 38, ∓3 / 1, ∓3 / 2, ∓3 / 15, ... ve "denenebilecek" kökler ∓1, ∓1 / 2, ∓3 / 2, ∓3 olup denklem
r[ r(38r - 15) - 53) ] - 15 şeklinde yazılarak tam sayı olabilmesi için r = 3 / 2 olduğu kolayca görülüp (III) eşitliğinden de;
x = 30 / [ (3 / 2)(3 / 2 - 1)(3 / 2 + 1) ] = 20 / [ (1 / 2)(5 / 2) ] = 20·4 / 5 = 16 olur.