Çözüldü 2. Dereceden Değişken Katsayılı Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemin Bernoulli Denklemine Dönüşümü

Bir kitaptan çözümü tam yapılmamış bir problem:
[ 2(x^2)·(y') - x ]·(y'') + y' = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Kaynak:
"Çözümlü Problemlerle Diferansiyel Denklemler", Prof.Dr. Metin Başarır, Doç.Dr. Eyüp Sabri Türker, Değişim Yayınları, 2. Basım, Eylül 2003, sayfa 201 - 202

y' = p
[ 2(x^2)·p - x)(dp / dx) + p = 0
(2p - 1 / x)(dp / dx) + (1 / x^2)·p = 0....(I) denklemi bilinen metodlarla çözülerek x = p / (p^2 + C)....(II)
y = ∫ pdx
y = ∫ { p(C - p^2) / [ (C + p^2)^2 ] }dp = p^2 / (p^2 + C) - (1 / 2)·ln(p^2 + C) + C1....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri genel çözümün parametrik ifadesidir.
---
Tam ve Ayrıntılı Çözüm:
(I)'den (2p - 1 / x)(dp / dx) = -p / (x^2)
{ [ 2p - (1 / x) ] / p }dp = -dx / (x^2)
[ 2p - (1 / x) ] / p = -(dx / dp)(1 / x^2)
2 - (1 / x)(1 / p) = (1 / x^2)(dx / dp)
(1 / x^2)(dx / dp) - (1 / p)(1 / x) + 2 = 0
dx / dp - (1 / p)·x = -2·(x^2) şeklinde Bernoulli Diferansiyel Denklemine dönüşür.
[ x^(-2) ]·(dx / dp) - (1 / p)·[ x^(-1) ] = -2...(IV) denkleminde u = x^(-1) ⇒ -du / dp = [ x^(-2) ]·(dx / dp) değişken dönüşümüyle;
-du / dp - (1 / p)·u = -2
du / dp + (1 / p)·u = 2....(V) Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemine indirgenerek p cinsinden birer fonksiyon olarak k ve v için;
u = k·v....(VI) ⇒ du / dp = k·(dv / dp) + v·(dk / dp).....(VII) değişken dönüşümleriyle (V) denklemi;
k·(dv / dp) + v·(dk / dp) + (1 / p)·k·v = 2
k·(dv / dp + v / p) + v·(dk / dp) = 2....(VIII) denkleminin çözümü için dv / dp + v / p = 0....(IX) olmasını sağlayacak bir v fonksiyonu bulunmak üzere (IX) şartından;
dv / v + dp / p = 0 ve a ∈ R için ln(v) + ln(p) = ln(a) ⇒ v = a / p....(X)
(IX) ve (X) eşitliklerine göre (VIII) denklemi k·0 + (a / p)·(dk / dp) = 2 haline gelerek çözülürse b ∈ R için k = [ (p^2) / a ] + b....(XI)
(XI) ve (X) fonksiyonları (VI)'da kullanılarak u = { [ (p^2) / a ] + b }·(a / p) = p + (a·b / p) ve a·b = -C1 gibi başka bir sabit alınıp (WolframAlpha'nın da keyfi olsun diye eksi işareti kullanıldı);
u = x^(-1) = p + (-C1 / p) ⇒ x = p / (p^2 - C1)....(XII) ve buradan x·(p^2) - C1·x = p eşitliği p değişkenine bağlı bir ikinci derece denklem olarak düzenlenirse;
x·(p^2) - p - C1·x = 0 ⇒ p = { 1 ∓ [ (-1)^2 + 4C1·(x^2) ]^0,5 } / (2x)
p = [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5
dy / dx = [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5
dy = { [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 }dx
y = ∫ dx / (2x) ∓ ∫ [ dx / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 + C2
y = (1 / 2)·ln(x) ∓ ∫ [ dx / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 + C2....(XIII) ifadesindeki integral işlemi 2(√C1)·x = tanθ değişken dönüşümü yapılarak çözülürse (bu ara işlemler ilgilenen ve zamanı olan öğrencilere ödev);
y = (1 / 2)·ln(x) ∓ (1 / 2)·( [ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 - tanh{ [ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 } )....(XIV)

Konuya Yeni Başlamış Öğrencilere Notlar:
1. Kitaptaki çözümde verilen (II) eşitliğinin, Tam ve Ayrıntılı çözümdeki (XII) ifadesine,
2. WA'nın verdiği sonuçların da (XIV) ifadesine eşit olduğuna dikkat edilmelidir.
3. (XIV) eşitliğinde verilen hiperbolik tanjant fonksiyonlu sonuç WA'nın algoritmik fantezisi olup (XIII) eşitliğindeki integrasyon işleminden çıkacak ifadenin ayrıca hiperbolik tanjant fonksiyonu olarak yazılması gerekli değildir.

WolframAlpha (WA) Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2x^2*y'-x)*(y'')+y'=0