Çözüldü 2. Dereceden Değişken Katsayılı Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemin Bernoulli Denklemine Dönüşümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 28 Kasım 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    5.284
    Beğenileri:
    638
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Bir kitaptan çözümü tam yapılmamış bir problem:
    [ 2(x^2)·(y') - x ]·(y'') + y' = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    Kaynak:
    "Çözümlü Problemlerle Diferansiyel Denklemler", Prof.Dr. Metin Başarır, Doç.Dr. Eyüp Sabri Türker, Değişim Yayınları, 2. Basım, Eylül 2003, sayfa 201 - 202

    y' = p
    [ 2(x^2)·p - x)(dp / dx) + p = 0
    (2p - 1 / x)(dp / dx) + (1 / x^2)·p = 0....(I) denklemi bilinen metodlarla çözülerek x = p / (p^2 + C)....(II)
    y = ∫ pdx
    y = ∫ { p(C - p^2) / [ (C + p^2)^2 ] }dp = p^2 / (p^2 + C) - (1 / 2)·ln(p^2 + C) + C1....(III)
    (II) ve (III) eşitlikleri genel çözümün parametrik ifadesidir.
    ---
    Tam ve Ayrıntılı Çözüm:
    (I)'den (2p - 1 / x)(dp / dx) = -p / (x^2)
    { [ 2p - (1 / x) ] / p }dp = -dx / (x^2)
    [ 2p - (1 / x) ] / p = -(dx / dp)(1 / x^2)
    2 - (1 / x)(1 / p) = (1 / x^2)(dx / dp)
    (1 / x^2)(dx / dp) - (1 / p)(1 / x) + 2 = 0
    dx / dp - (1 / p)·x = -2·(x^2) şeklinde Bernoulli Diferansiyel Denklemine dönüşür.
    [ x^(-2) ]·(dx / dp) - (1 / p)·[ x^(-1) ] = -2...(IV) denkleminde u = x^(-1) ⇒ -du / dp = [ x^(-2) ]·(dx / dp) değişken dönüşümüyle;
    -du / dp - (1 / p)·u = -2
    du / dp + (1 / p)·u = 2....(V) Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemine indirgenerek p cinsinden birer fonksiyon olarak k ve v için;
    u = k·v....(VI) ⇒ du / dp = k·(dv / dp) + v·(dk / dp).....(VII) değişken dönüşümleriyle (V) denklemi;
    k·(dv / dp) + v·(dk / dp) + (1 / p)·k·v = 2
    k·(dv / dp + v / p) + v·(dk / dp) = 2....(VIII) denkleminin çözümü için dv / dp + v / p = 0....(IX) olmasını sağlayacak bir v fonksiyonu bulunmak üzere (IX) şartından;
    dv / v + dp / p = 0 ve a ∈ R için ln(v) + ln(p) = ln(a) ⇒ v = a / p....(X)
    (IX) ve (X) eşitliklerine göre (VIII) denklemi k·0 + (a / p)·(dk / dp) = 2 haline gelerek çözülürse b ∈ R için k = [ (p^2) / a ] + b....(XI)
    (XI) ve (X) fonksiyonları (VI)'da kullanılarak u = { [ (p^2) / a ] + b }·(a / p) = p + (a·b / p) ve a·b = -C1 gibi başka bir sabit alınıp (WolframAlpha'nın da keyfi olsun diye eksi işareti kullanıldı);
    u = x^(-1) = p + (-C1 / p) ⇒ x = p / (p^2 - C1)....(XII) ve buradan x·(p^2) - C1·x = p eşitliği p değişkenine bağlı bir ikinci derece denklem olarak düzenlenirse;
    x·(p^2) - p - C1·x = 0 ⇒ p = { 1 ∓ [ (-1)^2 + 4C1·(x^2) ]^0,5 } / (2x)
    p = [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5
    dy / dx = [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5
    dy = { [ 1 / (2x) ] ∓ [ 1 / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 }dx
    y = ∫ dx / (2x) ∓ ∫ [ dx / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 + C2
    y = (1 / 2)·ln(x) ∓ ∫ [ dx / (2x) ]·[ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 + C2....(XIII) ifadesindeki integral işlemi 2(√C1)·x = tanθ değişken dönüşümü yapılarak çözülürse (bu ara işlemler ilgilenen ve zamanı olan öğrencilere ödev);
    y = (1 / 2)·ln(x) ∓ (1 / 2)·( [ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 - tanh{ [ 1 + 4C1·(x^2) ]^0,5 } )....(XIV)

    Konuya Yeni Başlamış Öğrencilere Notlar:
    1. Kitaptaki çözümde verilen (II) eşitliğinin, Tam ve Ayrıntılı çözümdeki (XII) ifadesine,
    2. WA'nın verdiği sonuçların da (XIV) ifadesine eşit olduğuna dikkat edilmelidir.
    3. (XIV) eşitliğinde verilen hiperbolik tanjant fonksiyonlu sonuç WA'nın algoritmik fantezisi olup (XIII) eşitliğindeki integrasyon işleminden çıkacak ifadenin ayrıca hiperbolik tanjant fonksiyonu olarak yazılması gerekli değildir.

    WolframAlpha (WA) Kontrolu:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2x^2*y'-x)*(y'')+y'=0

  2. Benzer Konular: Dereceden Değişken
    Forum Başlık Tarih
    Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Birinci Dereceden Denklemler 2 Ağustos 2019
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular Parabol - Birinci Dereceden Üç Bilinmeyenli Denklem Sistemi (Seçenekler hatalı) 20 Mayıs 2019
    Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma İkinci dereceden denklemler 1 Nisan 2019
    Matematik - Geometri Birinci Dereceden Çok Bilinmeyenli Denklem ve Basit Eşitsizlikle Problem Çözümü 30 Ocak 2019
    Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma III. Dereceden denklemler 2 soru 27 Nisan 2016

Sayfayı Paylaş