Çözüldü Birinci Derece Lineer Diferansiyel Denklem Uygulaması-Sabitin Değişimi ve Değişken Dönüşümüyle Çözüm

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 29 Kasım 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    5.284
    Beğenileri:
    638
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    University of Michigan - Ann Arbor'dan çözümlü bir örnek:

    10 litre su içinde 50 gram tuzun olduğu bir çözeltinin bulunduğu tanka bağlı ve aynı anda çalıştırılmaya başlanan iki pompadan biri, litresinde 1 gram tuz olan karışımı dakikada 3 litre hızla tanka ilave ederken, diğeri 2 litre / dakika hızında boşaltıyorsa, tankın taşmadığı varsayımıyla, içindeki çözelti 50 litreyken içerdiği tuz miktarı kaç gramdır?

    [​IMG]
    https://i.ibb.co/CbCTKYp/UMICH-Dif-Eq.png
    http://www.math.lsa.umich.edu/~barvinok/midtermstage1.pdf (Soru 2)

    [​IMG]
    https://i.ibb.co/p4LvgR5/UMICH-Dif-Eq-sol.png
    http://www.math.lsa.umich.edu/~barvinok/midtermsolutions.pdf (Sayfa 1 - 2)
    ---
    Değişken Dönüşümüyle Çözüm:
    (Açıklama ihtiyacı duyanlar olursa Forumdaki örnekleri inceleyebilirler.)


    dx / dt + 2x / (10 + t) = 3
    x(t) = u(t)·v(t) ⇒ dx / dt = u·(dv / dt) + v·(du / dt)
    u·(dv / dt) + v·(du / dt) + 2u·v / (10 + t) = 3
    u·[ dv / dt + 2v / (10 + t) ] + v·(du / dt) = 3
    dv / dt + 2v / (10 + t) = 0 ⇒ dv / v + 2dt / (10 + t) = 0
    ln(v) + 2ln(10 + t) = ln(1)
    ln{ v·[ (10 + t)^2 ] } = ln(1)
    v·[ (10 + t)^2 ] = 1
    v = 1 / [ (10 + t)^2 ]
    u·0 + { 1 / [ (10 + t)^2 ] }·(du / dt) = 3
    du = 3·{ [ (10 + t)^2 ] }dt
    u = 3·∫ [ (10 + t)^2 ]dt + C1
    10 + t = k ⇒ dt = dk
    u = 3·∫ k^2 dk + C1
    u = k^3 + C1
    u = (10 + t)^3 + C1
    x(t) = [ (10 + t)^3 + C1 ]·{ 1 / [ (10 + t)^2 ] }
    x(t) = 10 + t + { C1 / [ (10 + t)^2 ] }
    x(0) = 50 = 10 + 0 + { C1 / [ (10 + 0)^2 ] }
    C1 / 100 = 40
    C1 = 4000
    x(t) = 10 + t + { 4000 / [ (10 + t)^2 ] }
    x(40) = 10 + 40 + { 4000 / [ (10 + 40)^2 ] }
    x(40) = 50 + 8 / 5
    x(40) = 50 + 1,6
    x(40) = 51,6 gram tuz

  2. Benzer Konular: Birinci Derece
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Birinci Derece Denklemle Problem Çözümü Cuma 21:21
    Matematik - Geometri Kümeler - Diofant (Diophantine) Denklem Çözümü - Birinci Derece Eşitsizlikler 17 Ocak 2021
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Birinci Derece Eşitsizliklerin Grafiği - Doğrunun Analitiği 26 Aralık 2020
    Matematik - Geometri Logaritmada Taban Değiştirme Kuralı - Birinci Derece Eşitsizlik 25 Aralık 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Derece Kübik Diferansiyel Denklem 15 Aralık 2020

Sayfayı Paylaş