Çözüldü Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemde İntegrasyon Çarpanı ve Değişken Dönüşümüyle Çözüm

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 7 Kasım 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    5.284
    Beğenileri:
    638
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    University of Maryland'dan çözümlü bir örnek:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/Stf6qzX/UMD-Dif-Eq1.png

    [​IMG]
    https://i.ibb.co/DWh8RFK/UMD-Dif-Eq2.png

    http://www.terpconnect.umd.edu/~lvrmr/2020-2021-F/Classes/MATH246/EXAMS/Samp1sol.pdf
    [ Sayfa 1, Soru 2.(a) ]
    ---
    Değişken Dönüşümüyle Çözüm
    dz / dt + z / (1 + t) = cost / (1 + t)....(I) şeklinde yazılıp t değişkenine bağlı birer fonksiyon u ve v olmak üzere z = u·v....(II) dönüşümüyle;
    dz / dt = u·(dv / dt) + v·(du / dt)....(III)
    (II) ve (III) eşitlikleri (I)'de kullanılırsa u·(dv / dt) + v·(du / dt) + u·v / (1 + t) = cost / (1 + t)
    u·[ dv / dt + v / (1 + t) ] + v·(du / dt) = cost / (1 + t)....(IV) denkleminde dv / dt + v / (1 + t) = 0....(V) olmasını sağlayan bir v(t) fonksiyonu;
    dv / v + dt / (1 + t) = 0 eşitliğinden integraller alınarak;
    ln(v) + ln(1 + t) = ln(C1)
    v = C1 / (1 + t)....(VI)
    (V) ve (VI) eşitliklerine göre (IV) denklemi [ C1 / (1 + t) ]·du / dt = cost / (1 + t) ⇒ du = (1 / C1)·(cost)dt ⇒ u = (1 / C1)·sint + C2....(VII)
    (VI) ve (VII) eşitlikleri (II)'deki yerlerine konulup z = [ (1 / C1)·sint + C2 ]·[ C1 / (1 + t) ]
    z(t) = sint / (1 + t) + C1·C2 / (1 + t) ve C1·C2 = c gibi başka bir sabite eşitlenerek;
    z(t) = (sint + c) / (1 + t)....(VIII) genel çözümü bulunarak z(0) = 2....(IX) için
    2 = (0 + c) / (1 + 0)
    c = 2 ve böylece (IX) şartına ilişkin özel çözüm (VIII)'den z(t) = (sint + 2) / (1 + t) bulunur.

    Not: Tanım aralığı, t = 0 başlangıç şartı nedeniyle t + 1 > 0 alınarak t > -1 olur.

  2. Benzer Konular: Birinci Mertebeden
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Dört Farklı Çözümü 31 Temmuz 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Bağımsız Değişkeni y Olan Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklem 28 Temmuz 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem (Şıklar Yanlış) 26 Temmuz 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklemler 22 Aralık 2016

Sayfayı Paylaş