Çözüldü Birinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemin Dört Farklı Çözümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 31 Temmuz 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.657
    Beğenileri:
    571
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    University of Illinois (Urbana - Campaign)'den çözümlü bir örnek:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/vVQ0SLS/Illinois-Dif-Eq.png
    https://wiki.illinois.edu/wiki/down...pdf?version=1&modificationDate=1412612033000&
    (Soru 1)
    ---
    İkinci Çözüm:
    Karakteristik denklem r - 3 = 0 ⇒ r = 3 ve homojen çözüm: yh = C1·[ e^(3t) ]....(I)
    Z = f(t) ve K ∈ R olmak üzere özel Çözüm: yp = Z·[ e^(3t) ]....(II)
    yp' = Z'·[ e^(3t) ] + Z·3·[ e^(3t) ]
    Z'·[ e^(3t) ] + Z·3·[ e^(3t) ] - 3Z·[ e^(3t) ] = 4t·[ e^(3t) ]
    Z'= 4t
    Z = 2t^2 + C2....(III)
    (II) ve (II)'den yp = (2t^2 + C2)·[ e^(3t) ]....(IV)
    (I) ve (IV) toplanarak Genel Çözüm: y(t) = yh + yp = C1·[ e^(3t) ] + (2t^2 + C2)·[ e^(3t) ]
    y(t) = (2t^2)·[ e^(3t) ] + (C1 + C2)·[ e^(3t) ]
    y(t) = (2t^2)·[ e^(3t) ] + C·[ e^(3t) ]
    y(0) = 2 = 0 + C·1 ⇒ C = 2
    Tam Özel Çözüm: y(t) = (2t^2)·[ e^(3t) ] + 2·[ e^(3t) ]
    ---
    Üçüncü Çözüm:
    Karakteristik denklemin (polinomun) kökü olan 3, sağ tarafta üstel fonksiyonda da olduğundan özel çözüm yp = (at + b)·t·[ e^(3t) ]
    yp = (at^2 + bt)·[ e^(3t) ]....(V)
    yp' = (2at + b)·[ e^(3t) ] + 3(at^2 + bt)·[ e^(3t) ]....(VI)
    (V) ve (VI) eşitlikleri denklmdeki yerlerine konularak;
    (2at + b)·[ e^(3t) ] + 3(at^2 + bt)·[ e^(3t) ] - 3(at^2 + bt)·[ e^(3t) ] = 4t·[ e^(3t) ] ve sadeleştirmeyle;
    2at + b = 4t eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı ile 2a = 4 ⇒ a = 2 ve b = 0 olarak (V) bağıntısıyla yp = (2t^2)·[ e^(3t) ]....(VII)
    Genel çözüm (I) ve (VII) toplanarak y(t) = C1·[ e^(3t) ] + (2t^2)·[ e^(3t) ] ve ikinci çözümde olduğu gibi y(0) = 2 başlangıç değer şartından C1 = 2 ile tam özel çözüm: y(t) = (2t^2)·[ e^(3t) ] + 2·[ e^(3t) ]
    ---
    Dördüncü Çözüm:
    ℒ{ y' - 3y } = ℒ{ 4(t^1)·[ e^(3t) ] }
    s·Y(s) - y(0) - 3Y(s) = 2·(2!) / [ (s - 3)^(1 + 1) ]
    (s - 3)·Y(s) = 2 + 2·(2!) / [ (s - 3)^2 ]
    Y(s) = 2 / (s - 3) + 2·(2!) / [ (s - 3)^3 ]
    Ters Laplace Dönüşümüyle;
    ℒ^(-1) { Y(s) } = ℒ^(-1) { 2 / (s - 3) + 2·(2!) / [ (s - 3)^3 ] }
    y(t) = 2·[ e^(3t) ] + (2t^2)·[ e^(3t) ]

  2. Benzer Konular: Birinci Mertebeden
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Bağımsız Değişkeni y Olan Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklem 28 Temmuz 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem (Şıklar Yanlış) 26 Temmuz 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklemler 22 Aralık 2016
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Optimizasyon - Birinci ve İkinci Türev 30 Temmuz 2020

Sayfayı Paylaş