Çözüldü Cebirsel İntegralde Fantezi Trigonometrik Dönüşüm - Üstel Sayılar

Facebook "Türkiye Matematik Öğretmenleri Grubu"ndaki çözümlü sorulardan birinin fen lisesi klasik sınavı için zorlaştırılmış uyarlaması:
∫ x^5·(1- x^3)^0,5 dx integralini trigonometri kullanarak çözünüz.

Not: Çözümün takibinde kolaylık sağlaması için matematiksel zorunluluk olmadıkça parantez kullanılmamıştır.

x = (sinθ)^(2 / 3) ⇒ dx = 2cosθdθ / [ 3(sinθ)^(1 / 3) ], x^3 = (sinθ)^2, (1 - x^3)^0,5 = cosθ, x^5 = (sinθ)^(10 / 3) dönüşümleriyle integralin yeni hali,
∫ (sinθ)^(10 / 3)·cosθ·2cosθdθ / [ 3(sinθ)^(1 / 3) ] =
(2 / 3)·∫ (sinθ)^(10 / 3 - 1 / 3)·(cosθ)^2 dθ =
(2 / 3)·∫ (sinθ)^3·(cosθ)^2 dθ =
(2 / 3)·∫ sinθ·[ (cosθ)^2 - (cosθ)^4 ] dθ integralinde cosθ = t ⇒ sinθdθ = -dt dönüşümüyle integralin ikinci şekli,
(2 / 3)·∫ (t^4 - t^2) dt = (2 / 3)(t^5 / 5 - t^3 / 3) + C ve θ değişkenine dönülüp,
(2 / 3)·[ (cosθ)^5 / 5 - (cosθ)^3 / 3 ] + C ve x değişkenine geçilerek,
(2 / 3)·[ (1 - x^3)^(5 / 2) / 5 - (1 - x^3)^(3 / 2) / 3 ] + C.

Sorunun Normal Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integ151.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi....28316638057933165&idorvanity=137856289571386
(Langır lungur yazıldığı için son satırdaki hatayı görmek ilgilenen öğrencilere ödev)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/langr_10.png