Çözüldü Cebirsel İntegralde Trigonometrik Dönüşüm (YKS'de yok) - Rasyonel Kesirlere Ayırma İşlemi

Sadece zamanı olan ve meraklı öğrencilere Facebook'daki hamallık sorularından: ∫ (1 / x)(1 + 1 / x^4)^0,5 dx = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.1209449060847300&idorvanity=640977464361132

∫ √(x^4 + 1) dx / x^3 integralinde x^2 = tan(θ)....(I) ⇒ x = √tan(θ) değişken dönüşümüyle;
x^4 = [ tan(θ) ]^2
x^3 = [ tan(θ) ]^(3 / 2)
dx = [ sec(θ) ]^2 dθ / [ 2·√tan(θ) ] yazılıp θ değişkenine göre integralin yeni hali,
∫ { sec(θ)·[ sec(θ) ]^2 dθ / [ 2·√tan(θ) ] } / { [ tan(θ) ]^(3 / 2) } =
∫ [ sec(θ) ]^3 dθ / { 2·[ tan(θ) ]^2 } =
(1 / 2)·∫ cos(θ)dθ / { [ sin(θ) ]^2·[ cos(θ) ]^2 } =
(1 / 2)·∫ cos(θ)dθ / ( [ sin(θ) ]^2·{ 1 - [ sin(θ) ]^2 } ) integrali sin(θ) = u....(II) ⇒ cos(θ)dθ = du değişken dönüşümüyle,
(1 / 2)·∫ du / [ u^2(1 - u)(1 + u) ]....(III) integralindeki integrand
1 / [ u^2(1 - u)(1 + u) ] ≡ A / u^2 + B / u + C / (1 - u) + D / (1 + u) şeklinde basit kesirlere ayrıldığında ortaya çıkan dört
bilinmeyenli denklemin ilgilenen öğrencilere ödev olan çözümünde Belirsiz Katsayılar Kuralı uygulandığında A = 1, B = 0, C = D = 1 / 2 katsayılarına göre (III) integrali (1 / 2)·∫ { 1 / u^2 + 1 / [ 2·(1 - u) ] + 1 / [ 2·(1 + u) ] } du =
(1 / 2)·[ -1 / u - (1 / 2)·log(1 - u) + (1 / 2)·log(1 + u) ] + C =
-1 / (2u) + (1 / 4)·log[ (1 + u) / (1 - u) ] + C....(IV)
(II) eşitliğinden ters dönüşümle (IV) sonucu -1 / [ 2sin(θ) ] + (1 / 4)·log{ [ 1 + sin(θ) ] / [ 1 - sin(θ) ] } + C....(V)
(I) eşitliğine göre Pisagor Teoremi gereğince sin(θ) = x^2 / √(x^4 + 1) olup (V)'te kullanılırsa,
-[ √(x^4 + 1) ] / (2x^2) + (1 / 4)·log{ [ 1 + x^2 / √(x^4 + 1) ] / [ 1 - x^2 / √(x^4 + 1) ] } + C =
-[ √(x^4 + 1) ] / (2x^2) + (1 / 4)·log{ [ √(x^4 + 1) + x^2 ] / [ √(x^4 + 1) - x^2 ] } + C =
-[ √(x^4 + 1) ] / (2x^2) + (1 / 4)·log{ [ √(x^4 + 1) + x^2 ]^2 ] } + C =
-[ √(x^4 + 1) ] / (2x^2) + (1 / 2)·log[ √(x^4 + 1) + x^2 ] + C.

Not: Üşendiğim için yapmadığım kontrollar ve varsa hataları bulmak da ilgilenen öğrencilere ödev.