Çemberde Uzunluk - Trigonometri

https://i.ibb.co/7C1Pcqx/ember16.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=773967939638184&set=pcb.2092402070852279&type=3&theater

Sentetik çözüm göndermek isteyen olursa şimdiden çok teşekkürler.

Çemberin Yarıçapı: r cm
∡DBO = θ
DOB dik üçgeninde tanθ = (r / 2) / r = 1 / 2....(I) ve Pisagor Teoremi ile |BD| = [ (r / 2)^2 + r^2 ]^0,5 = r(√5) / 2....(II)
DAB dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BD| = √(x^2 + 4^2) = √(x^2 + 16)....(III)
(II) ve (III) ifadelerinin eşitliğinden x^2 + 16 = 5(r^2) / 4 ⇒ r = 2·{ [ (x^2 + 16) / 5 ]^0,5 }....(IV)
∡ABD = β
∆ABO ikizkenar olduğundan ∡OBA = ∡OAB = θ + β ⇒ ∡AOB = 180° - 2(θ + β)
∆ABO için Sinüs Teoremi ile;
r / sin(θ + β) = 4 / sin[ 180° - 2(θ + β) ] = 4 / sin[ 2(θ + β) ] = 4 / { 2·[ sin(θ + β) ]·[ cos(θ + β) ] }
r·cos(θ + β) = 2
cosθ·cosβ - sinθ·sinβ = 2 / r....(V)
(I)'den sinθ = 1 / √(1^2 + 2^2) = 1 / √5....(VI) ve cosθ = 2 / √(1^2 + 2^2) = 2 / √5....(VII)
(VI) ve (VII) değerleri (V)'teki yerlerine yazılıp düzenlenirse 2cosβ - sinβ = 2(√5) / r....(VIII)
DAB dik üçgeninde sinβ = x / √(x^2 + 16)....(IX) ve cosβ = 4 / √(x^2 + 16)....(X) olup (IV), (IX), (X) değerleri (VIII) eşitliğindeki yerlerine konarak;
2·[ 4 / √(x^2 + 16) ] - x / √(x^2 + 16) = 2(√5) / ( 2·{ [ (x^2 + 16) / 5 ]^0,5 } ) eşitliğinin sağ tarafı düzenlenirse
2·[ 4 / √(x^2 + 16) ] - x / √(x^2 + 16) = 2(√5) / { [ 2√(x^2 + 16) ] / √5 } ifadesi de sadeleştirilerek,
8 - x = 5
8 - 5 = x
3 cm = x