Çözüldü Daire Parçası Alanı - Noktanın ve Çemberin Analitiği - Trigonometrik İntegral

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 13 Şubat 2021 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    5.627
    Beğenileri:
    641
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Amerikan Matematik Derneği 8. Sınıflar Yarışması hazırlık sorularından birinin zorlaştırılmış klasik sınav (seçenekler verilerek AYT sorusu da olabilir) uyarlaması:

    Uzun kenarı kısa kenarının iki katı olan bir dikdörtgenin uzun kenarı çap üzerinde bulunacak şekilde çevrel yarım çemberi çiziliyor. Dikdörtgenin alanının dikdörtgenle yarım çember ve çap arasında kalan alanlar toplamına oranı kaçtır?

    Dikdörtgenin Kısa Kenar Uzunluğu: a birim
    Dikdörtgenin Uzun Kenar Uzunluğu: 2a birim
    Yarım Çember, merkezi orijin ve çapıyla dikdörtgenin uzun kenarı x ekseni üzerinde olacak şekilde kartezyen düzleme yerleştirilirse tüm şeklin simetri ekseni y ekseni olur.
    Pisagor Teoremi kullanılarak Yarım Çemberin Yarıçapı: (a^2 + a^2)^0,5 = a√2 birim
    Alan1: y = a doğrusuyla çember arasındaki alan
    Alan1 = π·(a√2)^2·(90° / 360°) - (1 / 2)·(a√2)^2·sin(90°) = π·a^2 / 2 - a^2 birim^2
    Alan2: Dikdörtgenin Alanı
    Alan2 = 2a·a = 2a^2 birim^2
    Yarım Çember Alanı: π·(a√2)^2 / 2 = π·a^2
    Alan3: Dikdörtgenle yarım çember ve çap arasında kalan alanlar toplamı
    Alan3 = Yarım Çember Alanı - (Alan1 + Alan2) = π·a^2 - [ (π·a^2 / 2 - a^2) + 2a^2 ] = π·a^2 / 2 - a^2
    Aranan Oran = Alan2 / Alan3 = 2a^2 / (π·a^2 / 2 - a^2) = 4 / (π - 2)

    İntegral Çözümü:
    Yarım Çemberin Kartezyen Düzlemin I. Bölgesindeki Denklemi: y = (2a^2 - x^2)^0,5
    Alan3 = 2·[ (alt sınır x1 = a, üst sınır x2 = a√2), ∫ (2a^2 - x^2)^0,5 dx ]
    Bu integral x = (a√2)·sin(θ) [ veya cos(θ) ] değişken dönüşümüyle (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
    Alan3 = 2·{ (2a^2)·[ (alt sınır θ1 = π / 4, üst sınır θ2 = π / 2), ∫ [ cos(θ) ]^2 dθ ] } integralinin cos(2θ) = 2·[ cos(θ) ]^2 - 1 eşitliğinden yararlanılarak çözümü de aynen ilgilenen öğrencilere ödev olup,
    Alan3 = (4a^2)(π - 2) / 8 = (a^2)(π - 2) / 2
    Aranan Oran = Alan2 / Alan3 = 2a^2 / [ (a^2)(π - 2) / 2 ] = 4 / (π - 2)

    Sorunun Aslı ve Çözümü:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/p3TrQ9F/AMC8.png
    https://www.maa.org/sites/default/files/2016_AMC8_PracticeProblems.pdf
    (Sayfa 8)

  2. Benzer Konular: Daire Parçası
    Forum Başlık Tarih
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Daire Parçası Alanı (Ancak seçeneklerle çözebiliyorum) 14 Haziran 2019
    Matematik - Geometri Daire Parçası ve Üçgen Alanlarının Toplamı 3 Haziran 2019
    Matematik - Geometri Daire Parçası Alanları Farkı ve Çemberde Çevre 19 Mayıs 2019
    FİZİK Düzgün Dairesel Harekette Açısal Hız ve Merkezcil İvme 22 Şubat 2021
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Düzgün Dairesel Hareket - Radyan ve Derece Dönüşümü - Orantı 18 Şubat 2021

Sayfayı Paylaş