Çözüldü Dairede Alan - Çemberin Analitiği - Trigonometrik İntegral

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 9 Eylül 2021 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    6.196
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Oxford Üniversitesi Fizik Bölümü 2020 Giriş Sınavından:

    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/oxford18.png
    https://www.physics.ox.ac.uk/system/files/file_attachments/pat-2020.pdf
    (Sayfa 32, Soru 24)

    Geometrik Çözüm:
    ABC = (π - θ) / 2
    CBD = π - (π - θ) / 2 = (π + θ) / 2
    Taralı Alanlar Toplamı =
    [ π·(x^2)·θ / (2π) - (1 / 2)·(x^2)·sin(θ) ] + { π·(x^2)·[ (π + θ) / 2 ] / (2π) } - (1 / 2)·(x^2)·sin(π / 2 + θ / 2) =
    [ (x^2) / 2 ]·θ - [ (x^2) / 2 ]·sin(θ) + [ (x^2) / 4 ]·(π + 4) - [ (x^2) / 2 ]·cos(θ / 2) =
    [ (x^2) / 4 ]·{ 3θ + π - 2·[ sin(θ) + cos(θ / 2) ] } birim^2....(I)

    Not: x ve θ için sırasıyla 1 ve 2π / 3 keyfi sayısal değerleri verilerek [ 3π - (√3) - 1 ] / 4 birim^2....(II)

    (I) Eşitliğine Bağlı (II) Sonucunun Doğruluğunun Sağlanması İçin Analitik Geometri ve İntegral Çözümü:
    B noktası orijin, A ile C noktaları x ekseni üzerinde ve D noktasından x eksenine çizilen dikmenin apsis eksenini kestiği nokta da H olmak üzere;
    |AD| = |BD| = |BC| = a
    A( -2a·sin(θ / 2), 0 )
    B(0, 0)
    C(a, 0)
    D( -a·sin(θ / 2), -a·cos(θ / 2) )
    H( -a·sin(θ / 2), 0 )
    D Merkezli Dairenin Küçük Parçasının Alanı: S1
    D Merkezli Çemberin Denklemi: [ x + a·sin(θ / 2 ]^2 + [ y + a·cos(θ / 2 ]^2 = a^2
    D Merkezli Çemberin Denkleminin y = f(x) Fonksiyonu: y1 = -a·cos(θ / 2 + { a^2 - [ x + a·sin(θ / 2 ]^2 }^0,5
    (II) değerini veren x ve θ sayısal değerleriyle y1 fonksiyonuna ait integral (uygun trigonometrik dönüşümlerin yapılarak çözülmesi ilgilenen ve zamanı olan öğrencilere ödev);
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/s1_int10.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (-1/2+sqrt(1-(x+sqrt(3)/2)^2))dx from x=-sqrt(3) to 0

    B Merkezli Dairenin Büyük Parçasının Alanı: S2
    B Merkezli Çemberin (x ekseninin altında kalan kısmına ait) Denkleminin y = f(x) Fonksiyonu: y2 = -(a^2 - x^2)^0,5
    S2 = y2 fonksiyonunun x1 = -a·sin(θ / 2 ve x2 = a arasındaki integralinin mutlak değeri - CHD dik üçgeninin alanı
    Yine x = 1 ve θ = 2π / 3 değerleri için integral ve üçgen alanı sırasıyla;
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/s2_int10.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(integrate -sqrt(1-x^2)dx from x=-sqrt(3)/2 to 1)

    Alan(CHD Dik Üçgeni) = { [ 1 + (√3) / 2]·(1 / 2) } / 2 = 1 / 4 + (√3) / 8

    Taralı Alanlar Toplamı = [ π / 3 - (√3) / 4 ] + [ (√3) / 8 + 5π / 12 ] - [ 1 / 4 + (√3) / 8 ] = [ 9π - (3·√3) - 3 ] / 12 =
    [ 3π - (√3) - 1 ] / 4 birim^2.

  2. Benzer Konular: Dairede Çemberin
    Forum Başlık Tarih
    Düzlem ve Uzay Analitik Geometri Dairede ve Üçgende Alan-Çemberin ve Doğrunun Analitiği-Trigonometri-İntegral 21 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Noktanın Analitiği - Pisagor Teoremi - Dairede Alan 16 Haziran 2021
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Eşkenar Üçgende ve Dairede Alan - İntegralde Trigonometrik Dönüşüm 24 Mayıs 2021
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar (Bu tür sorular YKS 2021'de yok) - Dairede Alan 17 Mayıs 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Dairede ve Üçgende Alan - Trigonometrik Limit - Fonksiyonların Seriye Açılımı 14 Ocak 2021

Sayfayı Paylaş