Çözüldü Dairede Alan - İntegral

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 6 Mayıs 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.081
    Beğenileri:
    304
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/m8EUUS/emberde_alan.png
    http://temelelektronik.info/ders/download/guvenderossgeometri.pdf
    (Sayfa 278, ÖSS 17, Soru 11)

    Çözüm - 1 (Sentetik Geometri):
    Teğet yarıçapa dik olduğundan |FO| ve |GO| yarıçaptır (r) ve |FO| = |GO| = |BG| = r = 2....(I) cm olup simetri nedeniyle AEF ve CDG taralı alanları da eşittir.
    Yine simetriden; EOF = GOD = θ....(II) ve Alan(FEO Daire Dilimi) = Alan(GOD Daire Dilimi) = S = π·(r^2)·θ / 360°....(III)
    (II) eşitliğindeki açı, O noktasındaki EOF + FOG + GOD = 180° bütünlerlik bağıntısında yerine yazılırsa θ + 90° + θ = 180° ⇒ θ = 45°....(IV)
    (I) ve (IV) değerleri (III) eşitliğinde kullanılırlarsa S = π·(2^2)·45° / 360° = π / 2 cm^2
    Alan(AEF) = Alan(∆AFO) - S = 2·2 / 2 - π / 2 = 2 - π / 2 cm^2
    Alan(AEF) + Alan(ACDG) = 2·Alan(AEF) = 2(2 - π / 2) = 4 - π cm^2 bulunur.
    ---
    Çözüm - 2 (Analitik Geometri ve İntegral):
    B noktası orijin, [BC] ve [AB] kenarları da sırasıyla x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde ∆ABC kartezyen düzleme yerleştirilirse;
    Merkezi M(2, 2) ve yarıçapı r = 2 cm olan çemberin denklemi (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 olup EF çember yayının denklemi y1 = 2 + [ 4 - (x - 2)^2 ]^0,5....(V)
    [AC] kenarının üzerinde olduğu doğrunun denklemi x / 4 + y / 4 = 1 ⇒ y2 = -x + 4....(VI) olarak yazılır.
    E noktasının koordinatlarının bulunması için çember yayı ve doğru kesiştirilirse (x - 2)^2 + (-x + 4 - 2)^2 = 4 ⇒ 2(x - 2)^2 = 4 ⇒ x = 2 ∓ √2 olup - işareti alınır
    çünkü + işareti D noktasının apsisini verir.

    Alan(AEF) = ∫ (y2 - y1) dx, x = 0, x = 2 - √2 olduğundan (V) ve (VI) denklemleriyle;
    Alan(AEF) = ∫ { -x + 2 - [ 4 - (x - 2)^2 ]^0,5 } dx, sınırlar x = 0, x = 2 - √2 ve aranan alanlar toplamı da;
    2∫ { -x + 2 - [ 4 - (x - 2)^2 ]^0,5 } dx, sınırlar x = 0, x = 2 - √2 integraliyle 4 - π cm^2 bulunur.
    WolframAlpha Kontrolu:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2(integrate (-x-sqrt(4-(x-2)^2)+2)dx from x=0 to 2-sqrt(2))

    Öğrenci üyeler için not:
    İntegralin hesabı alıştırma olarak bırakılmıştır ve [ 4 - (x - 2)^2 ]^0,5 integralinin alınması için x - 2 = 2sinβ (veya x - 2 = 2cosβ) değişken dönüşümü yapılarak çözüm kolayca tamamlanır.

  2. Benzer Konular: Dairede İntegral
    Forum Başlık Tarih
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Dairede Alan 7 Haziran 2017
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Dairede Alanlar Toplamı 3 Ocak 2017
    Matematik - Geometri Dairede Alan 13 Şubat 2016
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Çemberde Açı,Uzunluk ve Dairede Alan Testleri 21 Aralık 2012
    Resim Dosyaları veya Bağlantı Adresleri (linkleri) Silinmiş Sorular ve Çözümler Dairede Alan 5 Nisan 2010

Sayfayı Paylaş