Çözüldü Daireler Arası Alan - İntegral

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 12 Temmuz 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.495
    Beğenileri:
    391
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/x1vf16j/Daireler-Aras-Alan2-Soru.png
    https://scontent-frt3-2.xx.fbcdn.ne...=78b3bbacae9a4d9d536f8938c3735eae&oe=5DA6C5C7
    https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.2839120106103336&type=3&theater&ifg=1

    Geometrik Çözüm:
    [O1O2] x ekseni üzerinde, [AB] y ekseni üzerinde, [AB]'nin orta noktası O orijin olmak üzere şekil kartezyen düzleme yerleştirilirse;
    A(0, 3)
    B(0, -3)
    O1(-a, 0)
    O2(a, 0)
    AOO2 dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |AO2| = √(a^2 + 3^2) = √(a^2 + 9) = |AO1| = |O1O2| nedeniyle ∆AO1O2 (ve simetriden dolayı ∆BO1O2) eşkenar üçgen olduğundan
    2a = √(a^2 + 9) ⇒ a = ∓√3 cm
    İki büyük eş çemberin yarıçapları r olmak üzere |AO1| = |AO2| = |BO1| = |BO2| = r ve yine AOO2 dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile r^2 = (√3)^2 + 3^2 = 12 cm^2
    AO2 küçük daire parçasının alanı: π·12·60° / 360° - (1 / 2)·12·sin60° = 2π - 3√3 cm^2....(I)
    Alan(∆AOO2) = (√3)·3 / 2 = (3√3) / 2 cm^2....(II)
    Taralı Alanlar Toplamı = 4[ 3 cm yarıçaplı dörtte bir dairenin alanı - (AO2 küçük daire parçasının alanı + AOO2 dik üçgeninin alanı) ]....(III)
    (I) ve (II) kullanılarak (III);
    Taralı Alanlar Toplamı = 4{ π·(3^2) / 4 - [ 2π - 3√3 + (3√3) / 2 ] }
    Taralı Alanlar Toplamı = 6√3 + π cm^2

    WolframAlpha Kontrolu:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=4{ π·(3^2) / 4 - [ 2π - 3√3 + (3√3) / 2 ] } =
    ---
    İntegralle Çözüm:
    Daha kolay bir integrasyon olması için [AB] x ekseni üzerinde olmak üzere şekil 90° sola döndürülürse;
    3 cm yarıçaplı merkezil çemberin denklemi x^2 + y^2 = 3^2 ve x ekseni üzerindeki yarım çemberin denklemi y1 = √(9 - x^2)....(IV)
    Merkezi O1(0, -√3) ve yarıçapı √12 cm olan çemberin denklemi x^2 + (y + √3)^2 = 12 ve çemberin x ekseni üzerinde kalan küçük parçasının denklemi
    y2 = -√3 + √(12 - x^2)....(V)
    Taralı Alanlar Toplamı = 4[ (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 3), ∫ (y1 - y2) dx ] olup (IV) ve (V) fonksiyonlarıyla;
    Taralı Alanlar Toplamı = 4{ (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 3), ∫ [ √(9 - x^2) + √3 - √(12 - x^2) ] dx }....(VI)
    (VI) integralinin alınması ilgilenen öğrencilere ödev olup birinci ve üçüncü (WA sıralamasında 2. ve 3.) kareköklü terimlerde sırasıyla x = 3sinθ ve x = (√12)sinθ trigonometrik dönüşümleri yapılabilir.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/yn1F7CF/Daireler-Aras-Alan2-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=4(integrate (sqrt(9-x^2)+sqrt(3)-sqrt(12-x^2))dx from x=0 to 3)
    Son düzenleme: 12 Temmuz 2019

  2. Benzer Konular: Daireler Arası
    Forum Başlık Tarih
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Daireler Arası Alan - Trigonometrik İntegral 9 Nisan 2019
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Daireler Arası Alan 17 Mart 2019
    Matematik - Geometri Yarım Daireler Arasındaki Alan 5 Mart 2019
    Matematik - Geometri Köklü ve Üstel Sayılar Arası Bağıntı 22 Haziran 2019
    Matematik - Geometri Daire, Üçgen ve Dikdörtgen Arası Alan - İkinci Derece Denklem 17 Mayıs 2019

Sayfayı Paylaş