Çözüldü Diferansiyel Denklem Sisteminin Özdeğerler ve Özvektörler Kullanılarak Çözümü - Klasik Çözümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 6 Haziran 2021 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    6.289
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Purdue University'den çözümlü bir problemin biraz zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması:

    Birinci ve ikinci satır elemanları sırasıyla (2, -1) ve (3, -2) olan A matrisine bağlı vektörel eşitliği x'(t) = A·x(t) olan x vektörünün t = 0 için başlangıç değerler vektörü x(0) = (3, 5) olan özel çözümünü hem özdeğerlerle özvektörleri kullanarak hem de klasik yoldan çözünüz.

    Özdeğerler ve Özvektörler Kullanılarak Çözüm:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/purdue20.png
    https://www.math.purdue.edu/~bell/MA366/exm2solns.pdf (Soru 4)

    Not: Gen^l = General, Sol^n = Solution

    Kaynak: https://www.mathsisfun.com/algebra/eigenvalue.html
    ---
    Klasik Çözüm:
    (2x2) A kare matrisi ile (2x1) matris olan x(t) = [ x1(t), x2(t) ] çarpımı (2x1) boyutlu x'(t) = [ x1'(t), x2'(t) ] eşit olduğundan matrisyel çarpımdan denklemlere geçilirse,
    2·x1(t) - x2(t) = x1'(t)....(I)
    3·x1(t) - 2·x2(t) = x2'(t)....(II)
    (I) eşitliğinden x2(t) = 2·x1(t) - x1'(t)....(III) ⇒ x2'(t) = 2·x1'(t) - x1''(t)....(IV)
    (III) ve (IV) denklemleri (II) eşitliğinde kullanılarak,
    3·x1(t) - 2·[ 2·x1(t) - x1'(t) ] = 2·x1'(t) - x1''(t)
    x1''(t) - x1(t) = 0 denkleminin karakteristik polinomu r^2 - 1 = 0 ⇒ r = ∓1
    x1(t) = C1·[ e^(t) ] + C2·[ e^(-t) ]....(V) ⇒ x1'(t) = C1·[ e^(t) ] - C2·[ e^(-t) ]....(VI)
    (V) ve (VI) eşitlikleri (III) denklemindeki yerlerine konulup;
    x2(t) = 2·{ C1·[ e^(t) ] + C2·[ e^(-t) ] } - C1·[ e^(t) ] + C2·[ e^(-t) ]
    x2(t) = C1·[ e^(t) ] + 3C2·[ e^(-t) ]....(VII)
    (V) ve (VII) için başlangıç değerleriyle;
    x1(0) = C1 + C2 = 3....(VIII)
    x2(0) = C1 + 3C2 = 5....(IX)
    (VIII) ve (IX) denklemlerinin çözümüyle C1 = 2, C2 = 1 ve özel çözüm;

    x1(t) = 2·[ e^(t) ] + e^(-t)
    x2(t) = 2·[ e^(t) ] + 3·[ e^(-t) ]


  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Dördüncü Mertebe Euler - Cauchy Diferansiyel Denklemi 28 Eylül 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Denklemin Homojen Tip Çözümü 22 Eylül 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Üniversite Matematiğinden Seçmeler (Diferansiyel Denklemler Hariç) 18 Eylül 2021
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular İntegral - Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklem 13 Eylül 2021
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 1. Mertebe Linear Diferansiyel Denklemin İntegrasyon Çarpanıyla ve Değişken Dönüşümüyle Çözümü 22 Ağustos 2021

Sayfayı Paylaş