Çözüldü Diferansiyel Denklem Soruları

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve nrslow tarafından 5 Ocak 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. nrslow

    nrslow Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    [​IMG]

    Arkadaşlar soruları çözüp yardım edebilecek kimse var mı acaba?

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklem Sorusu Bugün 12:51
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Endüstride İntegral Uygulaması - Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklem Bugün 11:03
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) Pazar 15:36
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.850
    Beğenileri:
    358
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    y = xp + 1 / p

    dy / dx = (dx / dx)·p + x·(dp / dx) - (1 / p^2)(dp / dx)

    p = p + x·(dp / dx) - (1 / p^2)(dp / dx)

    (dp / dx)(x - 1 / p^2) = 0

    dp / dx = 0 ⇒ p = c1 olup denklemde yerine yazılarak;

    Genel çözüm: y = c1·x + c2

    x - 1 / p^2 = 0 ⇒ x = 1 / p^2 ⇒ p = ∓1 / √x....(I)

    (I) eşitliği esas denklemdeki yerine konarak;

    y = ∓x / √x ∓ √x

    y = ∓2√x olarak "Clairaut Denklemi"nin çözümü bulunur.
    ---
    xy' + 2y = x·[ y^(1 / 2) ]

    y' + 2y / x = y^(1 / 2)....(I)

    u = y^(1 - 1 / 2) = √y

    u^2 = y....(II) değişken dönüşümüyle türev alınarak;

    2u(du / dx) = dy / dx = y'....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri (I) denkleminde kullanılarak;

    2u(du / dx) + 2u^2 / x = u

    du / dx + u / x = 1 / 2....(IV)

    u = k·v değişken dönüşümüyle;

    du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx)....(V)

    (V) eşitliği (IV) denklemindeki yerine yazılarak;

    k(dv / dx) + v(dk / dx) + k·v / x = 1 / 2

    k(dv / dx + v / x) + v(dk / dx) = 1 / 2....(VI)

    (VI) denkleminin çözümü için dv / dx + v / x = 0 alınarak;

    dv / v + dx / x = 0

    lnv + lnx = ln1

    ln(v·x) = lnc1

    v = c1 / x....(VII)

    (VII) eşitliği (VI) denklemindeki yerine konursa;

    (c1 / x)(dk / dx) = 1 / 2

    dk = [ 1 / (2c1) ]xdx

    k = (x^2) / (4c1) + c2....(VIII)

    (VII) ve (VIII) değerleri u = k·v eşitliğindeki yerlerine taşınarak;

    u = [ (x^2) / (4c1) + c2 ](c1 / x)

    u = x / 4 + c1·c2 / x

    u = x / 4 + c1 / x....(IX)

    u = √y ve (IX) eşitliklerinden;

    √y = x / 4 + c1 / x

    y = x^2 / 16 + c1 / 2 + c1^2 / x^2

    y = (x^4 + 8c1·x^2 + 16c1^2) / (16x^2)

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy'+2y=x(y^1/2)
    ---
    y'' + 4y' + 4y = e^(-2x)

    Karakteristik denklem r^2 + 4r + 4 = 0 ⇒ (r + 2)^2 = 0 ⇒ r = -2 çift katlı kök olduğundan genel çözüm;

    y1 = c1·e^(-2x) + c2·x·e^(-2x)....(I)

    Özel çözüm: y2 = m·(x^2)[ e^(-2x) ]

    y2' = 2mx[ e^(-2x) ] - 2m(x^2)[ e^(-2x) ]....(II)

    y2'' = 2m[ e^(-2x) ] - 4mx[ e^(-2x) ] - 4mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ]

    y2'' = 2m[ e^(-2x) ] - 8mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ]....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri esas denklemdeki yerlerine konursa;

    2m[ e^(-2x) ] - 8mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ] + 8mx[ e^(-2x) ] - 8m(x^2)[ e^(-2x) ] + 4m·(x^2)[ e^(-2x) ] = e^(-2x)

    2m = 1 ⇒ m = 1 / 2 ⇒ y2 = [ (x^2) / 2 ][ e^(-2x) ]....(IV)

    (I) ve (IV) çözümlerinin toplamıyla tam çözüm;
    y = y1 + y2 = c1·e^(-2x) + c2·x·e^(-2x) + [ (x^2) / 2 ][ e^(-2x) ]

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+4y'+4y=e^(-2x)
    ---
    y'' + 9y = sin3x

    r^2 + 9 = 0 ⇒ r = ∓3i

    Genel çözüm: y1 = c1·cos3x + c2·sin3x....(I)

    Özel Çözüm: y2 = x(Asin3x + Bcos3x)....(II)

    y2' = Asin3x + Bcos3x + x(3Acos3x - 3Bsin3x)

    y2' = (A - 3Bx)sin3x + (B + 3Ax)cos3x

    y2'' = -3Bsin3x + 3(A - 3Bx)cos3x + 3Acos3x - 3(B + 3Ax)sin3x

    y2'' = (-6B + 9Ax)sin3x + (6A - 9Bx)cos3x....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri denklemde yerlerine konursa;

    (-6B + 9Ax)sin3x + (6A - 9Bx)cos3x + 9x(Asin3x + Bcos3x) = sin3x

    (-6B + 18Ax)sin3x + 6Acos3x = sin3x

    6A = 0 ⇒ A = 0

    -6B + 18Ax = 1 ⇒ B = -1 / 6

    y2 = -(x / 6)cos3x....(IV)

    (I) ve (IV) eşitliklerinden tam çözüm:

    y = y1 + y2 = c1·cos3x + c2·sin3x - (x / 6)cos3x

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+9y=sin(3x)

Sayfayı Paylaş