Çözüldü Diferansiyel Denklemler (2 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 20 Ocak 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.437
    Beğenileri:
    379
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    (x^2 - 1)dy + [ 2y - (x + 1)^2 ]dx = 0
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=89605cd92229478dec447c87513e812c&oe=5CC5151A
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10156902539959144&set=gm.1455176881286517&type=3&theater
    (1. soru)

    dy / dx + [ 2 / (x^2 - 1) ]·y = [ (x + 1)^2 ] / (x^2 - 1) şeklinde birinci mertebeeden lineer dideransiyel denklem haline getirilip y = u·v....(I) değişken dönüşümü yapılarak x değişkenine göre türev alınırsa;
    dy / dx = u·(dv / dx) + v·(du / dx)....(II)
    (I) ve (II) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konarak;
    u·(dv / dx) + v·(du / dx) + [ 2 / (x^2 - 1) ]·u·v = [ (x + 1)^2 ] / (x^2 - 1)
    u·{ (dv / dx) + [ 2 / (x^2 - 1) ]·v } + v·(du / dx) = [ (x + 1)^2 ] / (x^2 - 1)....(III)
    Prof. Ahmet A. Karadeniz'in ilgili kitabındaki "keyfi şart" tanımıyla (dv / dx) + [ 2 / (x^2 - 1) ]·v = 0 ⇒ dv / v = 2dx / (1 - x^2) ve integrasyonla;
    v = (1 + x) / (1 - x)....(IV)
    (IV) ifadesi (III) denklemindeki yerine yazılırsa v·(du / dx) = [ (x + 1)^2 ] / (x^2 - 1)....(V)
    (IV) eşitliği (V) denklemine taşınarak; [ (1 + x) / (1 - x) ]·(du / dx) = [ (x + 1)^2 ] / (x^2 - 1) ve sadeleştşrmeyle;
    du = -dx ⇒ u = -x + c2....(VI)
    (IV) ve (VI) ifadeleri (I) eşitliğine götürülerek; y = (-x + c2)·[ (1 + x) / (1 - x) ] = [ (1 + x) / (x - 1) ]·(x + c2) ve düzenlenirse;
    y = [ x^2 + (c2 + 1)x + c2 ] / (x - 1)
    y = [ x^2 + (c1)·x + c2 ] / (x - 1)....(VII) bulunur.

    WolframAlpha (WA) Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2-1)dy+(2y-(x+1)^2)dx=0

    Not: Aşağıdaki bölüm çözüm için gerekli olmayıp sadece WA tarafından verilen sonuçla aynı olduğunu göstermek içindir.
    WA çözümü düzenlenirse y = (c1)·{ e^ln[ (1 + x) / (1 - x) ] } + (x^2 + x) / (x - 1)
    c2 = c1 gibi başka bir sabite eşitliği alınarak;
    y = (c2)·[ (1 + x) / (1 - x) ] + (x^2 + x) / (x - 1)
    c3 = - c2 ile y = (c3)·[ (1 + x) / (x - 1) ] + (x^2 + x) / (x - 1)
    y = [ c3 + (c3)·x + x^2 + x ] / (x - 1)
    y = [ x^2 + (c3 + 1)·x + c3 ] / (x - 1)
    c3 + 1 = c1 ve c3 = c2 keyfi eşitliklerle yine (VII) numaralı sonuca ulaşılır.
    ---
    y'' + 2y' + 5y = [ e^(-x) ]·tanx
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=89605cd92229478dec447c87513e812c&oe=5CC5151A
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10156902539959144&set=gm.1455176881286517&type=3&theater
    (2. soru)

    y = Z·[ e^(-x) ]....(I) değişken dönüşümüyle;
    y' = Z'·[ e^(-x) ] - Z·[ e^(-x) ]....(II)
    y'' = z''·[ e^(-x) ] - Z'·[ e^(-x) ] - Z'·[ e^(-x) ] + z·[ e^(-x) ] = z''·[ e^(-x) ] - 2Z'·[ e^(-x) ] + z·[ e^(-x) ]....(III)
    (I), (II), (III) eşitlikleri denklemde yerlerine konarak;
    z''·[ e^(-x) ] - 2Z'·[ e^(-x) ] + z·[ e^(-x) ] + 2Z'·[ e^(-x) ] - 2Z·[ e^(-x) ] + 5Z·[ e^(-x) ] = [ e^(-x) ]·tanx
    z'' + 4z = tanx....(IV) olup karakteristik denklem r^2 + 4 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 2i ve z = (e^0x)·(c1·sin2x + c2·cos2x) = c1·sin2x + c2·cos2x....(V)
    (V) eşitliğinden;
    z' = 2c1·cos2x + c1'·sin2x - 2c2·sin2x + c2'·cos2x ve bütünler şart olarak c1'·sin2x + c2'·cos2x = 0....(VI) olup z' = 2c1·cos2x - 2c2·sin2x....(VII)
    (VII) eşitliğinden;
    z'' = -4c1·sin2x + 2c1'·cos2x - 4c2·cos2x - 2c2'·sin2x....(VIII)
    (V) ve (VIII) eşitlikleri ikinci taraflı (IV) numaralı denklemdeki yerlerine konarak;
    -4c1·sin2x + 2c1'·cos2x - 4c2·cos2x - 2c2'·sin2x + 4(c1·sin2x + c2·cos2x) = tanx
    2c1'·cos2x - 2c2'·sin2x = tanx
    c1'·cos2x - c2'·sin2x = (1 / 2)tanx....(IX)
    (VI) ve (IX) denklemleri;
    c1'·sin2x + c2'·cos2x = 0....(VI)
    c1'·cos2x - c2'·sin2x = (1 / 2)tanx....(IX) olup (VI) denklemi sin2x ve (IX) denklemi de cos2x ile çarpılırsa;
    c1'·(sin2x)^2 + c2'·cos2x·sin2x = 0....(X)
    c1'·(cos2x)^2 - c2'·sin2x·cos2x = (1 / 2)tanx·cos2x....(XI)
    (X) ve (XI) taraf tarafa toplanırsa; c1' = (1 / 2)tanx·cos2x ⇒ c1 = (1 / 2)∫ (-sinx)dx / { (cosx)[ 1 - 2(cosx)^2 ] } ve bu integral cosx = t değişken dönüşümüyle çözülüp ve buna göre de c2 belirlenerek (buradaki basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere bırakıldı);
    c1 = k1 + (1 / 4)[ 2log(cosx) - cos2x ]....(XII)
    c2 = k2 + (1 / 4)(sin2x - 2x)....(XIII)
    (XII) ve (XIII) eşitlikleri (V) eşitliğindeki yerlerine konursa;
    z = {k1 + (1 / 4)[ 2log(cosx) - cos2x ] }·sin2x + [ k2 + (1 / 4)(sin2x - 2x) ]·cos2x....(XIV)
    (XIV) eşitliği de (I) değişken dönüşümüne taşınarak;
    y = { k1 + (1 / 4)[ 2log(cosx) - cos2x ] }·sin2x·[ e^(-x) ] + [ k2 + (1 / 4)(sin2x - 2x) ]·cos2x·[ e^(-x) ]
    standart sabit notasyonuna dönülerek;
    y = {C1 + (1 / 4)[ 2log(cosx) - cos2x ] }·sin2x·[ e^(-x) ] + [ C2 + (1 / 4)(sin2x - 2x) ]·cos2x·[ e^(-x) ] ve WolframAlpha'nın da keyfi yerine gelsin diye tekrar düzenlenirse;
    y = C1·[ e^(-x) ]·sin2x + C2·[ e^(-x) ]·cos2x - (1 / 2)[ e^(-x) ]·x·cos2x + (1 / 2)[ e^(-x) ]·sin2x·log(cosx)
    y = C1·[e^(-x)]·sin2x + C2·[e^(-x)]·cos2x + (1 / 2)[e^(-x)]·sin2x·log(cosx) - (1 / 4)[e^(-x)]·sin2x·cos2x + (1 / 4)[e^(-x)]·sin2x·cos2x - (1 / 2)x·[e^(-x)]·cos2x
    y = C1·[e^(-x)]·sin2x + C2·[e^(-x)]·cos2x - (1 / 2)x·[e^(-x)]·cos2x + (1 / 2)[e^(-x)]·sin2x·log(cosx)

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + 2y' + 5y = [ e^(-x) ]·tanx
    ---
    Kaynak: Yüksek Matematik, Cilt - 3, Prof.Dr. Ahmet A. Karadeniz, Çağlayan Kitabevi, Aralık 1983

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 30 Haziran 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler(5 kolay soru) yarına acil 22 Mayıs 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017

Sayfayı Paylaş