Çözüldü Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Merve Yaylı tarafından 8 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Merve Yaylı

    Merve Yaylı Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bayan
    [​IMG] [​IMG]
    Son düzenleme: 8 Kasım 2018

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 20 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.656
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Soru - 1
    Değişkenlerine ayrılabilir tipte denklem olduğundan;
    xdx / (x^2 + 1) + ydy / [ (y + 1)^2 ] = 0 şeklinde yazılıp terimlerin integralleri alınırsa;

    (1 / 2)ln(x^2 + 1) + ∫ { ydy / [ (y + 1)^2 ] } = c1....(I)

    İkinci terim; -∫ { [ y(e^y) ]·d[ 1 / (y + 1) ] }....(II) şeklinde yazılabilir ve buradan kısmi integrasyon için;

    d[ 1 / (y + 1) ] = dv ⇒ v = 1 / (y + 1)

    u = -y(e^y) ⇒ du = -d[ y(e^y) ]

    dönüştürmeleriyle (I) ifadesi;

    -∫ { [ y(e^y) ]·d[ 1 / (y + 1) ] } =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + ∫ [ 1 / ( y + 1) ]d[ y(e^y) ] =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + ∫ d[ y(e^y) ] / (y + 1) =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + ∫ { e^y + [ y(e^y) ] }dy / (y + 1) =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + ∫ [ (e^y)(y + 1) / (y + 1) ]dy =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + ∫(e^y)dy =

    -[ y(e^y) ] / (y + 1) + e^y =

    { -[ y(e^y) ] + [ y(e^y) ] + e^y } / ( y + 1) =

    (e^y) / ( y + 1) + c2....(III)

    (II) integralinin sonucu (III) olup bu değer (I) eşitliğindeki yerine konarak;

    (1 / 2)ln(x^2 + 1) + (e^y) / ( y + 1) = c1 - c2

    (1 / 2)ln(x^2 + 1) + (e^y) / ( y + 1) = ln(c3)

    ln(x^2 + 1) + 2(e^y) / ( y + 1) = 2ln(c3) = ln(c)

    2(e^y) / ( y + 1) = ln[ c / (x^2 + 1) ]

    (e^y) / ( y + 1) = ln[ c / (x^2 + 1) ]^0,5

    Not: Product log (Lambert W) fonksiyonuyla WolframAlpha'nın aşağıda verdiği sonuçtaki gibi biraz daha ilerletilebilir fakat bir lisans eğitimi sınavında bu kadarı yeterlidir.
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=x((y+1)^2)dx+(x^2+1)y(e^y)dy=0
    ---
    Soru - 2
    (r^3 + 2r^2 = 0 olduğunu 10.11.2018 saat 11:56'da fark ettim, ona göre ayrıca yapacağım yaptım.)

    Karakteristik denklem r^2 + 2r = 0 ⇒ r(r + 2) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = -2

    Genel çözüm: y = c1(e^0x) + c2[ e^(-2x) ] = c1 + c2[ e^(-2x) ]....(0) olup türev alınarak;

    dy / dx = y' = c1' + (c2')[ e^(-2x) ] - 2c2[ e^(-2x) ] ve buradan Prof.Ahmet A. Karadeniz'in deyimiyle bütünler şart olarak;

    c1' + (c2')[ e^(-2x) ] = 0....(I) seçilirse y' = -2c2[ e^(-2x) ]....(II) ⇒ (d^2)y / d(x^2) = y'' = -2(c2')[ e^(-2x) ] + 4c2[ e^(-2x) ]....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri problemde verilen denklemde yerlerine konup;

    -2(c2')[ e^(-2x) ] + 4c2[ e^(-2x) ] + 2{ -2c2[ e^(-2x) ] } = e^x

    c2' = (-1 / 2)(e^3x) ⇒ c2 = (-1 / 6)(e^3x) + K1....(IV)

    (IV) eşitliği (I) ifadesinde yerine konursa c1' = (1 / 2)(e^x) ⇒ c1 = (1 / 2)(e^x) + K2....(V)

    (IV) ve (V), (0) genel çözümündeki yerlerine yazılarak; y = [ K2 + (1 / 2)(e^x) ] + [ (-1 / 6)e^x + K1 ]·[ e^(-2x) ]

    y = K2 + K1·[ e^(-2x) ] + (1 / 3)(e^x)

    y = C1·[ e^(-2x) + C2 + (1 / 3)(e^x)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+2y'=e^x

    [​IMG]
    https://image.ibb.co/miQr5A/Wronksian-Determinant.gif

    Bu determinant 3. sütuna göre açılırsa;
    [ y' - (e^x) / 3 ][ 4^(-2x) ] - [ -2e^(-2x) ][ y'' - (e^x) / 3 ] = 0

    4(y')[ e^(-2x) ] - (4 / 3)[ e^(-x) ] + 2[ e^(-2x) ] [ y'' - (e^x) / 3 ] = 0

    4(y')[ e^(-2x) ] - (4 / 3)[ e^(-x) ] + 2(y'')[ e^(-2x) ] - (2 / 3)[ e^(-x) ] = 0

    2(y'')[ e^(-2x) ] + 4(y')[ e^(-2x) ] - 2[ e^(-x) ] = 0

    2[ e^(-2x) ](y'' + 2y' - e^x) = 0

    y'' + 2y' = e^x denklemi yine bulunur.
    ---
    Soru - 3
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/b6pE8V/devre3.png

    Çevre akımları yönlerine göre sırasıyla ADCBA, ABDA, BCDB döngüleri için Kirchoff Gerilimler Yasası uygulanırsa;
    1·(di1 / dt) + 1·(di1 / dt - di3 / dt) + 1·(di1 / dt - di2 / dt) = 0....(I)

    1·(di2 / dt - di1 / dt) + 2·(i2 - i3) + 1·i2 = 0....(II)

    1·(di3 / dt - di1 / dt) + 1·i3 + 2·(i3 - i2) = 0.....(III)

    I1 = i1....(IV)

    I2 = i1 - i2....(V)

    I3 = i1 - i3....(VI)

    (I), (II), (III) denklemleri düzenlenirse;

    3di1 / dt - di2 / dt - di3 / dt = 0....(VII)

    -di1 / dt + di2 / dt + 3i2 - 2i3 = 0....(VIII)

    -di1 / dt - 2i2 + di3 / dt + 3i3 = 0....(IX)

    (VII), (VIII), (IX) denklemlerine başlangıç koşullarına göre sırasıyla Laplace Dönüşümü uygulanırsa;

    3[ s·i1(s) - i1(0) ] - [ s·i2(s) - i2(0) ] - [ s·i3(s) - i3(0) ] = 0

    3[ s·i1(s) - 4 ] - [ s·i2(s) - 2 ] - [ s·i3(s) - 2 ] = 0

    3s·i1(s) - s·i2(s) - s·i3(s) = 8....(X)

    -[ s·i1(s) - i1(0) ] + [ s·i2(s) - i2(0) ] + 3i2(s) - 2i3(s) = 0

    -s·i1(s) + i1(0) + s·i2(s) - i2(0) + 3i2(s) - 2i3(s) = 0

    -s·i1(s) + 4 + s·i2(s) - 2 + 3i2(s) - 2i3(s) = 0

    -s·i1(s) + (s + 3)·i2(s) - 2i3(s) = -2....(XI)

    -[ s·i1(s) - i1(0) ] - 2i2(s) + s·i3(s) - i3(0) + 3i3(s) = 0

    -s·i1(s) + i1(0) - 2i2(s) + (s + 3)·i3(s) - i3(0) = 0

    -s·i1(s) + 4 - 2i2(s) + (s + 3)·i3(s) - 2 = 0

    -s·i1(s) - 2i2(s) + (s + 3)·i3(s) = -2....(XII)

    (X), (XI), (XII) numaralı denklemler sistemi matrisli çarpım şeklinde yazılarak;

    [​IMG]
    https://image.ibb.co/dxhXdV/denklemsistemi.gif

    Genişletilmiş matris:
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/iRO8kA/Geni-letilmi-matris-sistemi.gif

    Son matristen;
    (-s - 6)·i2(s) + (2s + 9)·i3(s) = 2....(XIII)

    -i2(s) + (s + 4)·i3(s) = 2....(XIV)

    (XIII) ve (XIV) denklemleri herhangi bir yöntemle, örneğin determinantlarla çözülürek;

    i2(s) = [ 2(s + 4) - 2(2s + 9) ] / [ -(s + 6)(s + 4) - (-1)(2s + 9) ] ve sadeleştirilirse;

    i2(s) = 2 / (s + 3)....(XV)

    i3(s) = [ (-s - 6)·2 - (-1)·2 ] / [ -(s + 6)(s + 4) - (-1)(2s + 9) ] ve sadeleştirilirse;

    i3(s) = 2 / (s + 3)....(XVI)

    Matrisyel çarpımdan yine determinantla birinci sütuna göre açılarak (veya Sarrus Kuralı ile);
    i1(s) = { 8[ (s + 3)^2 - 4] + 2[ -s(s + 3) - 2s ] - 2[ 2s + s(s + 3) ] } / { 3s[ (s + 3)^2 - 4 ] + s[ -s(s + 3) - 2s ] - s[ 2s + s(s + 3) ] } ve sadeleştirilirse;

    i1(s) = (4s^2 + 38s + 40) / [ s(s + 3)(s + 5) ] ≡ A / s + B / (s + 3) + C (s + 5)....(XVII) şeklinde basit rasyonel kesirlere ayrılarak;

    4s^2 + 38s + 40 ≡ (A + B + C)(s^2) + (8A + 5B + 3C)s + 15A

    A + B + C = 4, 8A + 5B + 3C = 38, 15A = 40 denklem sistemi çözülerek bulunan A = 8 / 3, B = 19 / 3, C = -5 değerleri (XVII) eşitliğindeki yerlerine konursa;

    i1(s) = (8 / 3) / s + (19 / 3) / (s + 3) - 5 / (s + 5)....(XVIII)

    (XVIII), (XV), (XVI) eşitliklerine ters Laplace dönüşümü uygulanarak;

    i1(t) = 8t / 3 + (19 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ]....(XIX)

    i2(t) = i3(t) = 2[ e^(-3t) ]....(XX)

    (IV), (V), (VI) ve (XVIII), (XIX), (XX) eşitliklerinden;

    Ii1(t) = 8t / 3 + (19 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ]

    I2(t) = 8t / 3 + (19 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ] - 2[ e^(-3t) ]

    I2(t) = 8t / 3 + (13 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ]

    I3(t) = 8t / 3 + (19 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ] - 2[ e^(-3t) ]

    I3(t) = 8t / 3 + (13 / 3)[ e^(-3t) ] - 5[ e^(-5t) ] bulunur.
    ---
    Soruların yedeği: https://image.ibb.co/m0bg5A/2667764ab6.png
    Son düzenleme: 10 Kasım 2018
  4. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.656
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Asıl soru olan y''' + 2y'' = e^x denkleminin çözümü:

    (r^2)(r + 2) = 0 ⇒ r1 = r2 = 0, r3 = -2

    y = c1 + (c2)x + (c3)[ e^(-2x) ]....(*)

    y' = c1' + (c2')x + c2 + (c3')[ e^(-2x) ] - 2(c3)[ e^(-2x) ]

    c1' + (c2')x + (c3')[ e^(-2x) ] = 0...(I)

    y' = c2 - 2(c3)[ e^(-2x) ]....(II)

    y'' = c2' - (2c3')[ e^(-2x) ] + (4c3)[ e^(-2x) ]

    c2' - (2c3')[ e^(-2x) ] = 0....(III)

    y'' = (4c3)[ e^(-2x) ]....(IV)

    y''' = 4(c3')[ e^(-2x) ] - (8c3)[ e^(-2x) ]....(V)

    (IV) ve (V) eşitlikleri problemde verilen denklemde yerlerine konursa;

    4(c3')[ e^(-2x) ] - (8c3)[ e^(-2x) ] + 2{ (4c3)[ e^(-2x) ] } = e^x

    4(c3')[ e^(-2x) ] = e^x

    c3' = (1 / 4)[ e^(3x) ]

    c3 = (1 / 12)[ e^(3x) ] + K1....(VI)

    (VI) eşitliği (I) ve (III) denklemlerindeki yerlerine sırasıyla konulup düzenlenirse;

    c1' + (c2')x = -(1 / 4)(e^x)....(VII)

    c2' - 2(1 / 4)[ e^(3x) ][ e^(-2x) ] = 0

    c2' = (1 / 2)(e^x )....(VIII)

    c2 = (1 / 2)(e^x) + K3....(IX)

    (VIII) değeri (VII) eşitliğinde kullanılarak;

    c1' = -(1 / 4)(e^x) - (x / 2)(e^x) ve burada ikinci terim için kısmi integrasyon uygulanarak;

    c1 = -(1 / 4)(e^x) - (x / 2)(e^x) + (e^x) / 2 + K2....(X)

    (VI), (IX), (X) eşitlikleri (*) genel çözümündeki yerlerine konursa;

    y = -(e^x) / 4 - (x / 2)(e^x) + (e^x) / 2 + K2 + [ (e^x) / 2 + K3 ]x + { [ e^(3x) ] / 12 + K1 }[ e^(-2x) ]

    y = -(e^x) / 4 - (x / 2)(e^x) + (e^x) / 2 + C2 + (x / 2)(e^x) + (C3)x + (e^x) / 12 + (C1)[ e^(-2x) ]

    y = (-3e^x + 6e^x + e^x) / 12 + (C1)[ e^(-2x) ] + (C3)x + C2

    y = (C1)[ e^(-2x) ] + C2 + (C3)x + (e^x) / 3

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'''+2y''=e^x

    Not: Wronskian Determinatı y'' + 2y' = e^x olarak yapılmış ilk çözümdeki gibi kolayca yapılabilir. Bu işlemler ilgilenen öğrenci üyelere ödev.

Sayfayı Paylaş