Çözüldü Diferansiyel Denklemler (5 Soru, 4. Sorunun Çözüm Yolu Gösterildi)

https://i.ibb.co/wLCstTm/5soru.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=104854301371135&set=gm.2674555389469243&type=3&theater
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Soru - 1
[ (cosx)^2 ]·(sinx)dy = { 1 - y·[ (cosx)^3 ] }dx birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin çözümü:
dy / dx = { 1 - y·[ (cosx)^3 ] } / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) }
dy / dx = 1 / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) } - y·(cosx) / sinx
dy / dx + y·cotx = 1 / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) }....(I)
y = u·v....(II) ⇒ dy / dx = u·(dv / dx) + v·(du / dx)....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I)'deki yerlerine yazılıp;
u·(dv / dx) + v·(du / dx) + u·v·cotx = 1 / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) }
u·(dv / dx + v·cotx) + v·(du / dx) = 1 / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) }....(IV) denkleminde dv / dx + v·cotx = 0....(V) olmasını sağlayan
v(x) = cscx....(VI) eşitliği (V) ile birlikte (IV)'e götürülürse;
u·0 + (cscx)·(du / dx) = 1 / { [ (cosx)^2 ]·(sinx) }
du / dx = (secx)^2 ⇒ u(x) = tanx + C1....(VII)
(VI) ve (VII) fonksiyonları (II) eşitliğindeki yerlerine konularak;
y = (tanx + C1)·cscx
y = c1·cscx + secx

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=[ (cosx)^2 ]·(sinx)dy = { 1 - y·[ (cosx)^3 ] }dx
---
Soru - 2
Bir özel çözümü y1 = cosx olan [ 1 - (sinx)·(cosx) ]·y' + (cosx)·y^2 - y + sinx = 0 Riccati diferansiyel denkleminin çözümü:
y = y1 + 1 / u = cosx + 1 / u ⇒ y' = -sinx - u' / u^2
[ 1 - (sinx)·(cosx) ]·(-sinx - u' / u^2) + (cosx)·[ (cosx)^2 + (2 / u)·cosx + 1 / u^2 ] - cosx - 1 / u + sinx = 0
-sinx - (u' / u^2) + [ (sinx)^2 ]·cosx + (u' / u^2)·(sinx)·(cosx) + (cosx)^3 + (2 / u)·[ (cosx)^2 ] + (cosx) / (u^2) - cosx - 1 / u + sinx = 0
-(u' / u^2) + (u' / u^2)·(sinx)·(cosx) + (2 / u)·[ (cosx)^2 ] + (cosx) / (u^2) - 1 / u = 0
u' + [ (2cos2x) / (sin2x - 2) ]·u + 2cosx = 0 olarak birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüşerek u = k·v değişken dönüşümüyle 1. soruda yapıldığı gibi kolayca çözülüp (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
u = c1 / (2 - sin2x) + (12sinx + 3cosx + cos3x) / (3sin2x - 6) çözümü bulunarak başlangıçtaki dönüşümden y = f(x) fonksiyonu;
y = cosx + [ c1 / (2 - sin2x) + (12sinx + 3cosx + cos3x) / (3sin2x - 6) ]^(-1)

Not: WolframAlpha, Riccati tipi denklem çözümünü henüz öğrenemediğinden oradan doğrulama verilemedi.
---
Soru - 3
[ (x + y - 1)^2 ]·y' = 2(y + 2)^2 denkleminin homojen olup olmadığının belirlenerek genel çözümü.

Homojen değil, birinci mertebeden lineer olmayan (first order non-linear) denklemdir.
dx / dy = (1 / 2)·{ [ (x + y - 1) / (y + 2) ]^2 }....(I) haline getirilip (x + y - 1) / (y + 2) = u....(II) ⇒ x = y(u - 1) + 2u + 1 haline getirilip y değişkenine göre türev alınarak;
dx / dy = (y + 2)(du / dy) + u - 1....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I)'e taşınarak düzenlenirse du / (u^2 - 2u + 2) = dy / (2y + 4) değişkenlerine ayrılabilir tipe dönerek çözülürse (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
y = C1·{ e^[ -2arctan(1 - u) ] } - 2....(IV)
(II) eşitliğinden y ve x değişkenlerine geri dönülerek;
y = C1·e^{ -2arctan[ 1 - (x + y - 1) / (y + 2) ] } - 2
y = C1·e^{ -2arctan[ (3 - x) / (y + 2) ] } - 2 bulunur ve istenirse WolframAlpha'nın aşağıda verdiği sonuca getirilecek şekilde düzenlenebilir (ilgilenen öğrencilere ödev).

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x+y-1)^2)y'=2(y+2)^2
---
Soru - 4
(xdx + ydy) / √(1 + x^2 + y^2) + (ydx - xdy) / (x^2 + y^2) = 0 denkleminin tam diferansiyel tip olup olmadığının belirlenerek genel çözümü

[ x(x^2 + y^2) + y√(1 + x^2 + y^2) ]dx + [ y(x^2 + y^2) - x√(1 + x^2 + y^2) ]dy = 0
P = x(x^2 + y^2) + y√(1 + x^2 + y^2) ⇒ ∂P / ∂y = (y^2) / √(1 + x^2 + y^2) + √(1 + x^2 + y^2) + 2xy....(I)
Q = y(x^2 + y^2) - x√(1 + x^2 + y^2) ⇒ ∂Q / ∂x = -(x^2) / √(1 + x^2 + y^2) - √(1 + x^2 + y^2) + 2xy....(II)
∂P / ∂y ≠ ∂Q / ∂x olduğundan tam diferansiyel tipte bir denklem değildir.
v = x^2 + y^2 ⇒ ∂v / ∂x = 2x, ∂v / ∂x = 2y
µ(x^2 + y^2) integrasyon çarpanı olmak üzere;
µ'(x^2 + y^2) / µ(x^2 + y^2) = (∂Q / ∂x - ∂P / ∂y) / (2y·P - 2x·Q)....(III)
(II) - (I) yazılarak; ∂Q / ∂x - ∂P / ∂y = -[ 3(x^2 + y^2) + 2 ] / √(1 + x^2 + y^2 ....(IV)
2y·P - 2x·Q = 2y·[ x(x^2 + y^2) + y√(1 + x^2 + y^2) ] - 2x·[ y(x^2 + y^2) - x√(1 + x^2 + y^2) ]
2y·P - 2x·Q = 2(x^2 + y^2)·√(1 + x^2 + y^2)....(V)
(IV) ve (V), (III) denkleminde eşitliğin sağ tarafındaki yerlerine yazılıp;
µ'(x^2 + y^2) / µ(x^2 + y^2) = -[ 3(x^2 + y^2) + 2 ] / [ 2(1 + x^2 + y^2)(x^2 + y^2) ]
ln[ µ(x^2 + y^2) ] = -∫ [ 3(x^2 + y^2) + 2 ] [ d(x^2 + y^2) ] / [ 2(1 + x^2 + y^2)·(x^2 + y^2) ]....(VI)
z = x^2 + y^2....(VII) değişken dönüşümüyle;
ln[ µ(z) ] = -∫ (3z + 2) dz / [ 2z·(1 + z) ]....(VII) eşitliğinde sağdaki integral çözülürse (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
ln[ µ(z) ] = -ln[ z·√(1 + z) ]
µ(z) = e^{ -ln[ z·√(1 + z) ] } ve (VII) eşitliğinden x ve y değişkenlerine geri dönülerek denklemi tam diferansiyel tipe dönüştürecek olan integrasyon çarpanı;
µ(x^2 + y^2) = e^{ -ln[ (x^2 + y^2)·√(1 + x^2 + y^2) ] }....(VIII) bulunur.
Bundan sonra denklemin her terimi (VIII) ile çarpılırsa tam diferansiyel tipte denkleme dönüşerek çözüm tamamlanır.

Bu işlemler çok zamanı olan ve meraklı öğrencilere ödev. Sınav veya ödev, ben olsam buraya kadar yazıp bırakırım; soran hoca çok istiyorsa otursun kendi bitirsin. Akademik sadizmde de çağ atlamışız.
---
Soru - 5
y' = 2y·sinx - 2[ y^(3 / 2) ]·sinx Bernoulli Diferansiyel denkleminin çözümü.

Gereksiz zorlanmış bir soru çünkü denklem { 0,5 / [ y(1 - √y) ] } dy = (sinx) dx haline gelirse en basit değişkenlerine ayrılabilir tipe döner.
Sol tarafta y = u^2....(I) ⇒ dy = 2udu değişken dönüşümü yapılıp;
{ 0,5 / [ (u^2)(1 - u) ] }·2u du = (sinx) dx
{ du / [ u(1 - u) ] } = (sinx) dx ve sol taraf basit iki rasyonel kesre ayrılıp iki tarafın integrali alınarak düzenlenirse (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
ln[ u / (1 - u) ] = -cosx + c1 ve (I) eşitliğine göre y değişkenine geri dönülerek;
ln[ (√y) / (1 - √y) ] = c1 - cosx
(√y) / (1 - √y) = e^(c1 - cosx) = (e^c1) / (e^cosx) = C / (e^cosx)....(II)
e^(c1 - cosx) = a dönüşümüyle (√y) / (1 - √y) = a ⇒ y = [ a / (a + 1) ]^2
y = { [ C / (e^cosx) ] / [ C / (e^cosx) + 1 ] }^2
y = { C / [ C + (e^cosx) ] }^2....(III) en sade çözümüne ulaşılır.

WolframAlpha (WA) Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' = 2y·sinx - 2[ y^(3 / 2) ]·sinx

Not: WA'nın verdiği sonuçla (III) ifadesinin aynı olduğunu görmek (e^C1 = 1 / C gibi başka bir sabit olarak alınıp) ilgilenen öğrencilere ödev.