Soru Diferansiyel Denklemler (5 Soru) (Biri çözüldü, birinin çözüm yolu gösterildi, üçü çözülemedi)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/difden11.png

Önce şunu söyleyeyim. 3. ve 4. sorular hariç diğerleri için başka yerlerden yardım aramanız gerekecek çünkü;
5. Soruyla asla uğraşmam ve kendi sınavım olsa bile bakmazdım.
---
1. Soru:
Bu tür bir soru da hiç görmedim ama sanki tanım kümesi soruluyor gibi anlıyorum:
y'''(x0) = [ x0 - 1 / 3 - cos(x0) + √(x0 + 7) ] / (x0 - 1)(x0 + 2) şeklinde yazılırsa;
R - {1, -2} ve x0 ≥ -7 şartıyla tüm x0 gerçel sayıları için çözüm olabilir diyebilirim ama emin değilim.
---
2. Soru:
"Ters Görüntü Yöntemi" diye bir şey ne duydum ne de gördüm. Biraz Internet araması yaptım ama bulamadım.
Ama başka yollarla çözüm yapılabilir.
---
3. Soru:
Böyle bir denklemi de ilk kez görüyorum ve bildiğim hiçbir tipe benzemediği gibi değişik dönüşümler uygulamama rağmen de bir şey yapamadım. Çözebilen kişiyi şimdiden tebrik eder, saygılar sunarım.
---
4. Soru:
x - 3 = e^t değişken dönüşümüyle;
y ' = [ e^(-t) ](dy / dt)
y '' = [ e^(-2t) ][ (d^2)y / dt^2 ] olup bu ifadelere göre denklemin yeni hali;
[ (d^2)y / dt^2 ] + 2dy / dt + y = 0
y'' + 2y' + y = 0 şeklinde t değişkenine bağlı ikinci mertebeden lineer ve ikinci tarafsız basit diferansiyel denkleme dönüşerek kolayca çözülür. Forumda bu türden pek çok çözümlü örnek var. İlgilenen öğrencilere ödev.

3. Soru için çok araştırdım ama hiç böyle iki tane özel çözümü bilinen ve üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklem sorusuna veya çözümüne rastlamadım. WolframAlpha (WA) bu soru için özel çözümleri bilinmeden bile aşağıdaki sonucu veriyor ve y = x^2 özel çözümü de bu denklemi sağlıyor (bu kontrolu yapmak ilgilenen öğrencilere ödev):

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/soru3_10.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^3)y'''-(x+3)(x^2)(y'')+2x(x+3)(y')-2(x+3)y=0

WA'nın verdiği y = c1·x + c2·(e^x)·x + c3·x·(x + 1) sonucu düzenlenirse;
y = c1·x + c2·x·(e^x) + c3·(x^2) + c3·x
y = (c1 + c3)·x + c2·x·(e^x) + c3·(x^2)
M = c1 + c3, N = c2, P = c3 gibi yeni sabitlerle;
y = M·x + N·x·(e^x) + P·(x^2)....(I) genel çözümü haline gelir ve bu sonuç sadece birinci özel çözüm olan y = x kullanılıp aşağıdaki gibi mertebe düşürülmek suretiyle bulunabiliyor. Yani genel çözümün bulunabilmesinde ikinci bir özel çözüme (bu problem için y = x^2) daha ihtiyaç olması için bir neden göremiyorum.
y = ux
y' = u'x + u
y'' = u''x + 2u'
y''' = u'''x + 3u''
fonksiyon ve türevleri denklemdeki yerlerine yazılarak;
x^3(u'''x + 3u'') - (x^3 + 3x^2)(u''x + 2u') + (2x^2 + 6x)(u'x + u) - (2x + 6)ux = 0 eşitliğinin sağ tarafı açılıp sadeleştirilirse (bu ara işlemler de ilgilenen öğrencilere ödev);
u''' - u'' = 0 şeklinde ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemi bulunur ve karakteristik denklemin r = 1 ve r = 0 (iki katlı) kökleriyle;
u = c1·e^x + c2·x + c3 ve aranan genel çözüm de y = (c1·e^x + c2·x + c3)·x = c1·x·(e^x) + c2·(x^2) + c3·x olup bu sefer;
c1 = N, c2 = P, c3 = M yeni sabitleriyle (I) genel çözümü tekrar y = M·x + N·x·(e^x) + P·(x^2) olarak bulunur.