Çözüldü Diferansiyel Denklemler (6 Soru) (Biri çözülemedi)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve gokhanbicakci tarafından 9 Eylül 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. gokhanbicakci

    gokhanbicakci Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    21556829_10212845519567137_861687325_o.jpg

    Yardımcı olursanız çok sevinirim gerçekten,kimsem yok yardımcı olacak
    Son düzenleme: 9 Eylül 2017

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (4 Soru) 5 Temmuz 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (4 Soru) 20 Haziran 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler 20 Mart 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklemler 22 Aralık 2016
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Yapılabilen Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 20 Aralık 2016

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.700
    Beğenileri:
    258
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    SORU-1
    Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemi uygulanabilir ve karakteristik denklemden r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 ⇒ r = 4 (iki katlı kök) bulunur.

    Genel çözüm:
    y = (c1 + c2·x)·e^(-4x)....(I) ⇒ y ' = (c1' + c2'·x + c2)·e^(-4x) - 4(c1 + c2·x)·e^(-4x)....(II) ve buradan bütünler şart
    (Prof. Ahmet A. Karadeniz'in tanımıdır) olarak; c1' + c2'·x = 0....(III)

    (III) eşitliğine göre (II) numaralı birinci türev fonksiyonu düzenlenirse y ' = [ e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x)....(IV)

    (IV) eşitliğinden ikinci türev de y '' = [ -4e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x) + [ e^(-4x) ]·(c2' - 4c1' - 4c2'·x - 4c2) ve düzenlenirse;

    y '' = [ e^(-4x) ]·(c2' - 4c1' - 4c2'·x - 4c2 - 4c2 + 16c1 + 16c2·x)

    y'' = [ e^(-4x) ]·(-4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x)....(V)

    (I), (IV), (V) eşitlikleri problemdeki denklemde yerlerine yazılırsa;

    [ e^(-4x) ]·(-4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x) + 8[ e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x) + 16[ e^(-4x) ]·(c1 + c2·x) = (x^4)·e^(-4x) + e^(2x) ve iki taraf e^(-4x) ile bölünerek düzenlenirse;

    -4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x + 8c2 - 32c1 - 32c2·x + 16c1 + 16c2·x = x^4 + e^(6x) ve sadeleştirmeler yapılırs;

    -4c1' - 4c2'·x + c2' = x^4 + e^(6x)....(VI)

    (III) denklemi 4 ile çarpılıp (VI) denklemiyle beraber taraf tarafa toplanırsa;

    4c1' + 4c2'·x = 0

    -4c1' - c2'(4x - 1) = x^4 + e^(6x)

    c2' = x^4 + e^(6x)....(VII) ⇒ c2 = x^5 / 5 + e^(6x) / 6 + K2....(VIII)

    (VII) değeri (III) eşitliğinde yerine yazılırsa c1' + [ x^4 + e^(6x) ]·x = 0 ⇒ c1' = -x^5 - xe^(6x) ve integral alınarak (ikinci terim için kısmi integrasyon uygulanır);

    c1 = -x^6 / 6 - (x / 6)e^(6x) + e^(5x) / 36 + K1....(IX)

    (VIII) ve (IX) eşitlikleri (I) ifadesinde yerlerine yazılırlarsa;

    y = { -x^6 / 6 - (x / 6)e^(6x) + e^(6x) / 36 + K1 + [ x^5 / 5 + e^(6x) / 6 + K2 ]·x }·e^(-4x) olup parantez açılırsa;

    y = -(x^6 / 6)·e^(-4x) - (x / 6)·e^(2x) + e^(2x) / 36 + K1·e^(-4x) + (x^6 / 5)·e^(-4x) + (x / 6)·e^(2x) + K2·x·e^(-4x) ve sadeleştirilip kesir toplamalarıyla düzenlenirse;

    y = (K1 + K2·x)·e^(-4x) + (x^6 / 30)·e^(-4x) + e^(2x) / 36

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+8y'+16y=(x^4)e^(-4x)+e^(2x)
    ---
    SORU-2
    Bence soruda bir hata var çünkü y = ux dönüşümüyle bu haline göre çözüme gidildiğinde elemanter işlemlerle yapılamayan bir integral, ∫2du / (2u^3 + 6u - 1), ortaya çıkıyor ve zaten WolframAlpha da sorunun bu haline ait çözümü karmakarışık veriyor: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2xy-x^2)dx+(2y^2+4x^2)dy=0
    Soruyu veren hocaya veya başka forumlara sorulması iyi olur. Lisans düzeyinde bir çözümü varsa ben de öğrenmek isterim.
    Not: Eğer 4x^2 yerine x^2 olsaydı çözüm hem y = ux dönüşümüyle homojen denklem olarak, hem de bu durumda tam diferansiyel olduğu için yine kolayca çözülebiliyor.
    ---
    SORU-3
    ℒ[y''] - 8ℒ[y'] + 15ℒ[y] = ℒ[9te^(-2t)]

    (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 8[s·Y(s) - y(0) ] + 15Y(s) = 9 / (s + 2)^2 ve başlangıç değerleri burada yerlerine yazılırlarsa;

    (s^2)·Y(s) - 5s - 10 - 8s·Y(s) + 8·5 + 15Y(s) = 9 / (s + 2)^2

    Y(s) = 9 / { [ (s + 2)^2 ]·(s - 3)·(s - 5) } + (5s - 30) / [ (s - 3) (s - 5) ] olup sağ taraf basit rasyonel kesirlere ayrılırsa;

    Y(s) = 9 / { [ (s + 2)^2 ]·(s - 3)·(s - 5) } + (5s - 30) / [ (s - 3) (s - 5) ] ≡ A / (s + 2)^2 + B / (s + 2) + C / (s - 3) + D / 9(s - 5)....(I)

    9 + [ (s + 2)^2 ]·(5s - 30) ≡ A(s^2 - 8s + 15) + B(s + 2)(s^2 - 8s + 15) + C(s^2 + 4s + 4)(s - 5) + D(s^2 + 4s + 4)(s - 3)

    9 + (s^2 + 4s + 4)(5s - 30) ≡ As^2 - 8A·s + 15A + B(s^3 - 8s^2 + 15S + 2s^2 - 16s + 30) + C(s^3 - 5s^2 + 4s^2 - 20s + 4s - 20) + D(s^3 - 3s^2 + 4s^2 - 12s + 4s - 12)

    5s^3 - 10s^2 - 100s - 111 ≡ As^2 - 8A·s + 15A + B·s^3 - 6B·s^2 - B·s + 30B + C·s^3 - C·s^2 - 16C·s - 20C + D·s^3 + D·s^2 - 8D·s - 12D

    5s^3 - 10s^2 - 100s - 111 ≡ (B + C + D)·s^3 + (A - 6B - C + D)·s^2 + (-8A - B - 16C - 8D)·s + 15A + 30B - 20C - 12D ve Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined

    B + C + D = 5....(1)
    A - 6B - C + D = -10....(2)
    -8A - B - 16C - 8D = -100....(3)
    15A + 30B - 20C - 12D = -111....(4)

    1, 2, 3, 4 numaralı denklemler çözülürse;

    A = 9 / 35
    B = 108 / 1225
    C = 183 / 25
    D = -118 / 49

    (I) ifadesinden ters Laplace dönüşümüyle;

    y(t) = (9 / 35)te^(-2t) + (108 / 1225)e^(-2t) + (183 / 25)e^(3t) - (118 / 49)e^(5t) ve payda eşitlenerek düzenlenirse;

    y(t) = [ e^(-2t) ]·[315t + 8967e^(5t) - 2950e^(7t) + 108] / 1225

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-8y'+15y=9t(e^(-2t)),y(0)=5,y'(0)=10
    ---
    SORU-4


    (s + 5) / [ s(s + 2)(s + 1) ] ≡ A / s + B / (s + 2) + C / (s + 1)....(I)

    (s + 5) / [ s(s + 2)(s + 1) ] ≡ [ A(s^2 + 3s + 2) + B(s^2 + s) + C(s^2 + 2s) ] / [ s(s + 2)(s + 1) ]

    s + 5 ≡ (A + B + C)s^2 + (3A + B + 2c)s + 2A

    A + B + C = 0....(1)
    3A + B + 2C = 1....(2)
    2A = 5....(3)

    1, 2, 3 numaralı denklemlerden A = 5 / 2, B = 3 / 2, C = -4 bulunup (I) eşitliğinde yerlerine yazılarak ters Laplace dönüşümüyle;



    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace((s+5)/(s^3+3s^2+2s))=?
    ---
    SORU-5
    Köklere göre karakteristik denklemi [ (r - 2)^4 ]·[ (r + 5)^2 ]·(r - 3)·(r - 3 - 4i)·(r - 3 + 4i) olan dokuzuncu mertebeden lineer ve sabit katsayılı diferansiyel denklemin ikinci tarafsız genel çözümü;

    y = (c1 + c2·x + c3·x^2 + c4·x^3)·e^(2x) + (c5 + c6·x)·e^(-5x) + [ e^(3x) ]·(c7 + c8·cos4x + c9·sin4x)
    ---
    SORU-6
    (∂ / ∂x)[ (x^2)y + 3y - 1 ] = 2xy

    (∂ / ∂y)[ x(y^2) - 3 ] = 2xy

    Bu nedenle Tam (Exact) Diferansiyel denklem olup u(x, y) = c gibi bir genel çözümü olduğundan;

    M(x, y) = ∂u / ∂x = x(y^2) - 3 ⇒ u(x, y) = (x^2)(y^2) / 2 - 3x + F(y)....(I)

    ∂u / ∂y = (x^2)y + F '(y) = (x^2)y + 3y - 1 = N(x, y) ⇒ F '(y) = 3y - 1 ⇒ F(y) = 3y^2 / 2 - y + K....(II)

    (II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa; u(x, y) = (x^2)(y^2) / 2 - 3x + 3y^2 / 2 - y + K = c ve buradan da;

    (x^2)(y^2) / 2 - 3x + 3y^2 / 2 - y = c1 ve düzenlenirse (xy)^2 - 6x + 3y^2 - 2y = c1 olur veya y(x) bulunacak şekilde ikinci derece denklem halinde düzenlenirse;

    (x^2 + 3)y^2 - 2y - (6x + c1) = 0

    y = { 1 ∓ [ 1 + (c1 + 6x)(x^2 + 3) ]^0,5 } / (x^2 + 3)

    y = [ 1 ∓ (1 + c1·x^2 + 3c1 + 6x^3 + 18x)^0,5 ] / (x^2 + 3)

    y = { 1 ∓ [c1·(x^2 + 3) + 6x(x^2 + 3) + 1]^0,5 } / (x^2 + 3)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=((x)y^2-3)dx+((x^2)y+3y-1)dy=0
    ---
    Soruların yedeği: https://s19.postimg.org/60f9lupmr/dif_denklemler.jpg

Sayfayı Paylaş