Çözüldü Diferansiyel Denklemler (4 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve hakan yılmaz tarafından 20 Haziran 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. hakan yılmaz

    hakan yılmaz Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Alttaki 4 sorunun cevabı gerekiyor.lütfen yardımcı olabilir misiniz . Teşekkürler..
    [​IMG] [​IMG]

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler Ders Notları - İstanbul Sabahattin Zaim Üniversitesi 29 Haziran 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 6 Haziran 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Yapılabilen Denklemler 19 Nisan 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 12 Aralık 2022
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Doğru Ailesinin Zarfının Bulunması - Diferansiyel Denklemler - Trigonometri 8 Kasım 2022

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Çözümleri kontrol eden sayın hocamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'a buradan da tekrar çok teşekkür ederim, eksik olmasın, sevgiler, hürmetler.
    ---
    3 Numaralı Araba Sorusu:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/3-arab10.png

    Problemdeki verilere göre diferansiyel denklem, x değişkeninin t değişkenine göre sırasıyla birinci ve ikinci türevleri x' ve x'' olmak üzere oluşturulursa;
    2000x'' + 4000(x' - 15) + 8000(x - 0,05) = 0
    x''(t) + 2x'(t) + 4x = 30,2....(I)
    x'(0) = x''(0) = 0 başlangıç koşullarına göre Laplace Dönüşümü kullanılarak;
    ℒ[ x'(t) ] = s·ℒ[ x(t) ] - x(0) = s·X(s) - 0 = s·X(s)....(II)
    ℒ[ x''(t) ] = (s^2)·ℒ[ x(t) ] - s·x(0) - x'(0) = (s^2)·X(s) - 0 - 0 = (s^2)·X(s)....(III)
    (II) ve (II) eşitlikleriyle (I) denkleminin Laplace Dönüşümü;
    (s^2)·X(s) + 2s·X(s) + 4X(s) = 30,2
    X(s) = 30,2 / (s^2 + 2s + 4) = 30,2 / [ (s + 1)^2 + 3 ] olup ters Laplace Dönüşümüyle de;
    ℒ^(-1) [ x (s) ] = ℒ^(-1) { 30,2 / [ (s + 1)^2 + 3 ] }
    x(t) = (30,2 / √3) · ℒ^(-1) { (√3) / [ (s + 1)^2 + 3 ] }
    x(t) = (30,2 / √3)·[ e^(-t) ]·sin[ (√3)t ]
    ---
    4 Numaralı Paraşütçü Sorusu:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/4-para10.png

    Newton'un dinamiğe ait 2. yasası gereğince;
    Σf = m·a ⇒ m·g - k·V = m·a eşitliği a = dV / dt ve problemdeki veriler alınarak değişkenlerine ayrılabilir bir diferansiyel denklem halinde yeniden düzenlenirse;
    dV / (350 - 6V) = dt / 35....(I)
    350 - 6V = p....(II) ⇒ dV = -dp / 6 değişken dönüşümüyle (I) denklemi
    dp / 6p + dt / 35 = 0 ve integrasyonla (1 / 6)ln(p) + t / 35 = ln(c1) ve düzenlenirse
    (1 / 6)ln(p) + ln(c2) = -t / 35
    ln[ (c2)·p^(1 / 6) ] = -t / 35
    (c2)·p^(1 / 6) = e^(-t / 35)
    c·p = e^(-6t / 35) ve (II) eşitliğinden ters dönüşümle c·[ 350 - 6V(t) ] = e^(-6t / 35)....(III) olup t = 0 için V(0) = 0 başlangıç şartıyla;
    c = 1 / 350 bulunarak bu değer (III) eşitliğinde yerine yazılırsa;
    (1 / 350)·[ 350 - 6V(t) ] = e^(-6t / 35)
    1 - (6 / 350)V(t) = e^(-6t / 35)
    1 - e^(-6t / 35) = (6 / 350)V(t)
    V(t) = (350 / 6)·[1 - e^(-6t / 35) ]
    t → ∞ için maksimum (limit) hız V = 350 / 6 (m / s) = 58,33 (m / s) olur.
    ---
    3 Numaralı yatay kütle - yay - sönümleyici [ horizontal mass - spring - dashpot (damper) ] Sorusu:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/3-yay-10.png

    Newton'un dinamiğe ait 2. yasası gereğince;
    Σf = m·a ⇒ - r·x' - k·x = m·x'' yazılıp düzenlenirse;
    x'' + (r / m)·x' + (k / m)·x = 0....(I)
    Sönümleme Oranı veya Katsayısı (Damping Ratio or Coefficient): ζ (zeta) = r / (2m·ω)
    Sönümlenmemiş Doğal Frekans (Undamped Natural Frequency): ω = √(k / m)
    (I) denklemi bu değişkenlere göre;
    x'' + 2ζ·ω·x'+ (ω^2)·x = 0....(II) haline gelir.
    Karakteristik denklemin çözümü r^2 + 2ζ·ω·r + ω^2 = 0 ve kökler;
    r1 = ω·[ -ζ + √(ζ^2 - 1) ]
    r2 = ω·[ -ζ - √(ζ^2 - 1) ]
    x(t) = (A1)·e^(r1·t) + (A2)·e^(r2·t)
    v(t) = dx / dt = (A1)·(r1)·e^(r1·t) + (A2)·(r2)·e^(r2·t)

    Kaynak: https://open.usq.edu.au/pluginfile....ntent/3/mec3403/vibration-1/vibration-1.htm#3
    (3. Damped free vibration)
    ---
    4 Numaralı Silindir Sorusu:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/4-sili10.png

    a) Σf = m·a ⇒ m·g - k·V = m·(dV / dt)
    dV / (m·g - k·V) = dt / m....(I)
    m·g - k·V = p değişken dönüşümüyle -kdV = dp ⇒ dV = -dp / k olup (I) denklemi;
    -dp / (k·p) = dt / m ve integrasyonla;
    -(1 / k)ln(p) - ln(c2) = t / m
    ln{ [ p^(1 / k) ]·c2 } = -t / m
    [ p^(1 / k) ]·c2 = e^(-t / m)
    p·c3 = e^(-k·t / m) ve V değişkenine göre ters dönüşümle;
    (m·g - k·V)·c3 = e^(-k·t / m)
    m·g - k·V = (1 / c3)·[ e^(-k·t / m) ]
    k·V = m·g - (1 / c3)·[ e^(-k·t / m) ]
    V(t) = m·g / k - c1·[ e^(-k·t / m) ]
    t = 0 ⇒ V(o) = 0 olduğundan;
    0 = m·g / k - c1 ⇒ c1 = m·g / k ve buna göre hızın zamana göre fonksiyonu;
    V(t) = (m·g / k)·[ 1 - e^(-k·t / m) ] bulunur.

    b) t → ∞ ⇒ V = m·g / k olur.
  4. hakan yılmaz

    hakan yılmaz Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Çok teşekkür ederim .Bu kadar uğraştırdım sizi ama çok makbule geçtii. Allah razı olsun
    Honore bunu beğendi.
  5. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Rica ederim, yararlı olabildiyse sevindim. İyi çalışmalar, kolay gelsin.

Sayfayı Paylaş