Çözüldü Dik Yamuk-Pisagor Teoremi-Trigonometri-2. Derece Denklem-Analitik Geometri

Konusu 'Dörtgenler ve Çokgenler' forumundadır ve Honore tarafından 20 Ekim 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    4.030
    Beğenileri:
    413
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/jRtm1wY/dik-yamuk.png
    https://scontent-ams4-1.xx.fbcdn.ne...=57a77e0bd8ab743639cf62c4c12604f0&oe=5E5E2752
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2684751951576318&set=gm.1689507877853415&type=3&theater (Başka bir kısa sentetik çözüm.)

    Daha pratik bir çözüm yapılana kadar;


    Çözüm - 1
    |CD| = y
    C'den [AB]'ye inilen dikmenin ayağı H ise |BH| = 10 - y
    ADC dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AC| = √(12^2 + y^2) = √(144 + y^2)....(I)
    AEB dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AE| = √(10^2 - 6^2) = 8 birim
    AEC dik üçgeni için Pisagor Teoremi ile |AC| = √(8^2 + x^2) = √(64 + x^2)....(II)
    (I) ve (II) ifadelerinin sol tarafları eşit olduğundan 64 + x^2 = 144 + y^2 ⇒ y^2 = x^2 - 80....(III)
    BHC dik üçgeninde |AD| = |CH| = 12 birim ve Pisagor Teoremi ile 12^2 + (10 - y)^2 = (x + 6)^2 olup düzenlenirse;
    144 + 100 - 20y + y^2 = x^2 + 12x + 36 eşitliğinde (III) kullanılarak;
    244 - 20y + x^2 - 80 = x^2 + 12x + 36 olup sadeleştirilip y = (32 - 3x) / 5....(IV)
    DAC = arctan(y / 12)....(V)
    CAE = arctan(x / 8)....(VI)
    EAB = arctan(6 / 8) = arctan(3 / 4)....(VII)
    (VI), (VI), (VII) açılarının toplamı 90° olduğundan;
    arctan(y / 12) + arctan(x / 8) + arctan(3 / 4) = 90°
    arctan(y / 12) + arctan(x / 8) = 90° - arctan(3 / 4) eşitliğinde sol taraftaki birinci terimde (V) eşitliği kullanılıp;
    arctan[ (32 - 3x) / 60 ] + arctan(x / 8) = 90° - arctan(3 / 4) ifadesinde iki tarafın tanjantı alınarak;
    { [ (32 - 3x) / 60 ] + (x / 8) } / { 1 - [ (32 - 3x) / 60 ](x / 8) } = cot[ arctan(3 / 4) ] sadeleştirmelerle;
    (256 + 36x) / [ 3(x^2) - 32x + 480 ] = 4 / 3 orantısından;
    3x^2 - 59x + 288 = 0
    x = (59 ∓ 5) / 6
    x1 = 64 / 6 = 32 / 3 olamaz çünkü (IV) eşitliğinden y = [ 32 - 3(32 / 3) ] / 5 = 0 olur ki bu durumda dik yamuk oluşmaz.
    x2 = 54 / 6 = 9
    ---
    Çözüm - 2
    A noktası Orijin ve [AB[ x ekseni, [AD] de y ekseni üzerinde olacak şekilde dik yamuk Kartezyen Düzleme yerleştirilirse;
    Birinci çözümdeki (VII) açısına göre [AE]'nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi y = 3x / 4....(VIII)
    [BE] ⊥ [AE] olduğuna dikkat edilerek [BE['nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi y - 0 = -(4 / 3)(x - 10)....(IX)
    (VIII) ve (IX) doğruları kesiştirilerek E noktasının apsisi;
    3x / 4 = (-4 / 3)(x - 10) ⇒ x = 32 / 5 ve bu değer (VIII) denkleminde kullanılıp E noktasının ordinatı;
    y = (3 / 4)(32 / 5) = 24 / 5 olup E(32 / 5, 24 / 5) bulunur.
    E noktasından x eksenine çizilen paralelin [CH]'ı kestiği nokta K ise |CK| = 12 - 24 / 5 = 36 / 5....(X)
    AEB dik üçgeninde (VII) eşitliğine göre EAB = 90° - arctan(3 / 4) ve BHC dik üçgeninde de ECK = BCH = 90° - [ 90° - arctan(3 / 4) ] = arctan(3 / 4) = EAB....(XI)
    (Bu eşitlik doğrudan AEB ve BHC dik üçgenlerinin benzerliği nedeniyle de görülebilir.)
    ∆BHC ~ ∆CKE olduğundan CKE dik üçgeninde cos(ECK) = |CK| / x olup (X) ve (XI) değerleriyle cos[ arctan(3 / 4) ] = (36 / 5) / x yazılıp eşitliğin sol tarafındaki ifadeye uygun dik üçgende (meşhur 3-4-5 dik üçgeni olduğu zaten hemen anlaşılıyor) Pisagor Teoremi ile hipotenüs 5 birim olduğundan;
    4 / 5 = 36 / 5x
    1 = 9 / x
    x = 9.
    ---
    Sayın Almazbek İsaev Hocamıza aşağıdaki pratik çözümü ve foruma yaptığı tüm katkılar için çok çok teşekkür ederim, eksik olmasın. Selamlar, hürmetler.
    Son düzenleme: 21 Ekim 2019
  2. Ialmazbek68

    Ialmazbek68 Üye

    Mesajlar:
    76
    Beğenileri:
    59
    Cinsiyet:
    Bay
    upload_2019-10-21_16-16-40.png
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş