Çözüldü Doğru Parçasını İçten Belli Bir Oranda Bölen Noktanın ve Doğrunun Analitiği

https://i.ibb.co/fYsxsqC/gen.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.2140551513003680&idorvanity=756598921398953

Soruyu hazırlayan UMURSAMAZ, koordinatları o kadar gelişigüzel sallamış ki düzgün bir çizim yapıldığında üçgen yerine neredeyse çakışan üç doğru ortaya çıkıyor. Ayrıca şekil de yanıltıcı çünkü D'den [BC]'ye çizilecek paralelin [AB]'yi kestiği F noktasının ordinatı ile D noktasının ordinatı kesinlikle aynı değil!

D(p, q)
E(m, n)
F(s, t)
|DE| = |BF| olduğundan |BF| = 2·|AF|....(I)
s = (2 + 2·11) / (1 + 2) ⇒ s = 8
t = (2 - 2·15) / (1 + 2) ⇒ t = -28 / 3
F(8, -28 / 3)
Thales Teoremi gereğince |AF| / |DF| = |AB| / |BC| ve |DF| = |BE| olduğundan |AF| / |BE| = |AB| / |BC|
[ (11 - 8)^2 + (-15 + 28 / 3)^2 ]^0,5 / |BE| = [ (11 - 2)^2 + (-15 - 2)^2 ]^0,5 / |BC|
|BE| / |BC| = [ (√370) / 3 ] / √370 = 1 / 3 olduğundan |CE| = 2·|BE| ⇒ |BE| = (1 / 2)·|CE|
m = [ 2 + (1 / 2)·5 ] / (1 + 1 / 2) = (9 / 2) / (3 / 2) = 3
n = [ 2 + (1 / 2)·(-4) ] / (1 + 1 / 2) = 0
E(3, 0)
|AE| = [ (11 - 3)^2 + (-15 - 0)^2 ]^0,5 = 17 birim.

Çözüm - 2:
[AB]'nin denklemi: (y + 15) / (-15 - 2) = (x - 11) / (11 - 2) ⇒ y = (-17x + 52) / 9
t = (-17·s + 52) / 9....(II)
(I) eşitliğine göre (2 - s)^2 + (2 - t)^2 = 4·[ (s - 11)^2 + (t + 15)^2 ]....(III)
(II) ve (III) denklemlerinden yine s = 8 ve t = -28 / 3 bulunabilir.
[BC]'nin denklemi: y = -2x + 6
n = -2m + 6....(IV)
|BF| = [ (2 - 8)^2 + (2 + 28 / 3)^2 ]^0,5 = (2·√370) / 3 birim = |DE| = [ (m - p)^2 + (n - q)^2 ]^0,5....(V)
[AC]'nin denklemi: y = (-11x + 31) / 6
q = (-11·p + 31) / 6....(VI)
[DF] ve [BC] doğru parçalarının eğimlerinin eşitliğinden (q + 28 / 3) / (p - 8) = -2....(VII)
(VI) ve (VII) denklemlerinin çözümüyle p = 9 ve q = -34 / 3 yani D(9, -34 / 3)
D noktasının koordinatları olan p ve q değerleri (V) denklemindeki yerlerine yazılıp,
(2·√370) / 3 = [ (m - 9)^2 + (n + 34 / 3)^2 ]^0,5....(VIII)
(IV) ve (VIII) denklemlerinden de m = 3 ve n = 0
|AE| = [ (11 - 3)^2 + (-15 - 0)^2 ]^0,5 = 17 birim.