Çözüldü Dördüncü Derece Denklem

Konusu 'Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma' forumundadır ve Honore tarafından 15 Mart 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.949
    Beğenileri:
    291
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Şamil Hocamızın başka sitedeki sorularından biri:

    4x⁴ - 12x³ - 7x² + 22x + 14 = 0 denkleminin dört reel kökü vardır. Bu köklerden ikisinin toplamı 1 ise tüm kökleri bulunuz.

    Kıymetli Şamil Üstadım çarpanlara ayrılmış halini vermişti, ben de çözümü şöyle yapmaya çalıştım:

    x1 + x2 + x3 + x4 = -(-12 / 4) = 3
    x3 + x4 = 1 ⇒ x1 + x2 = 3 - 1 = 2
    4. derece denklem (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) şeklinde iki 2. derece denklemin çarpımı olarak yazılabileceğinden;
    -b / a = 2 ⇒ b = -2a....(0) ve -e / d = 1 ⇒ e = -d değerleri 2. derece denklemlerde yerlerine konursa;
    (ax^2 - 2ax + c)(dx^2 - dx + f) =
    adx^4 - adx^3 + afx^2 - 2adx^3 + 2adx^2 - 2afx + cdx^2 - cdx + cf =
    adx^4 - 3adx^3 + (af + 2ad + cd)x^2 - (2af + cd)x + cf olup problemdeki 4. derece denklemle karşılaştırılırsa Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı ile;
    ad = 4 ⇒ d = 4 / a....(I)
    af + 2ad + cd = -7 ⇒ af + cd = -15....(II)
    2af + cd = -22....(III)
    (II) ve (III) denklemlerinden;
    af = -7 ⇒ f = -7 / a....(IV),
    cd = -8 ⇒ c = -8 / d ve (I) eşitliği burada yerine yazılırsa c = -2a....(V)
    e = -d = -4 / a....(VI)
    b, c, d, e, f katsayılarının a cinsinden eşdeğerleri sırasıyla (0), (V), (I), (VI), (IV) eşitliklerinden alınıp 2. derece denklemlerde yerlerine yazılırlarsa;
    (ax^2 - 2ax - 2a)(4x^2 / a - 4x / a - 7 / a) = 0
    a(x^2 - 2x - 2)(1 / a)(4x^2 - 4x - 7) = 0
    (x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 4x - 7) = 0

    İkinci derece denklem formülüyle de kökler;
    x1 = 1 - √3
    x2 = 1 + √3
    x3 = 0,5 - √2
    x4 = 0,5 + √2


    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x⁴-12x³-7x²+22x+14=0

  2. Benzer Konular: Dördüncü Derece
    Forum Başlık Tarih
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Toplam Sembolü ve Dördüncü Derece (Quartic) Denklem Kökleri 18 Ocak 2016
    Matematik - Geometri İkinci Derece Denklem Pazartesi 00:17
    Matematik - Geometri Trigonometrik Özdeşlikler - İkinci Derece Denklem (2 Soru) 23 Mart 2018
    Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma 2. Derece Denklem Çözümlerinde Değişken Dönüşümü 3 Mart 2018
    Matematik - Geometri Köklü Sayılar - İkinci Derece Denklemlere İndirgenebilirlik (2 Soru) 8 Şubat 2018

Sayfayı Paylaş