Çözüldü Düzgün Beşgende Uzunluk - Trigonometri (Sentetik Çözüm Olabilirse Çok Şaşarım)

Konusu 'İlginç ve Sıradışı Çözümler' forumundadır ve Honore tarafından 19 Aralık 2022 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    8.982
    Beğenileri:
    653
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Ne diyebilirim Sayın Chopin? Zekânıza, mantık gücünüze ve bilginize şapka çıkarıyorum, ama lise geometri hocanız da çok çok iyiymiş diyorum. O sayın hocamız şu çizimlerinizi ve yazdıklarınızı görseydi kim bilir nasıl gururlanırdı.

    ΔCPQ üçgeninin ikizkenarlığını o lanet θ açısının değerini benim yaptığım gibi gereksiz yere bulmaya kalkışmadan şöyle gösteremez miyiz? (sonra bakabilecek öğrenci üyeleri de düşünerek biraz ayrıntılı yazıyorum ama şekil üzerine açıları yerleştirip anlamak onlara ödev)

    ∡BOC = 72°
    ∡BOP = θ
    ∡JCD = ∡QCN = θ
    PONC dörtgeninde;
    ∡POC = 72° - θ
    ∡CON = 72° / 2 = 36°
    ∡OPN = 180° - (∡BPA + 54°) = 180° - 72° - 54° = 54°
    ∡PNO = 180° - 54° - [ (72° - θ) + 36° ] = 18° + θ
    ∡PNC = 90° - ∡PNO = 90° - (18° + θ) = 72° - θ = ∡QNC
    [PC] kenarını gören ∡POC ve ∡PNC açıları eşit ve 72° - θ olduğundan,
    [OP] kenarı gören ∡PNO ve ∡PCO açıları da eşit olmak zorundadır yani ∡PCO = ∡PNO = 18° + θ olur (olmasını ne engelleyebilir?)
    ∡PCQ = ∡PCO + ∡OCQ = (18° + θ) + (54° - θ) = 72°
    ∡PQC = ∡QNC + ∡QCN = (72° - θ) + θ = 72°
    ΔCPQ üçgenindeki taban açıları olan ∡PCQ ve ∡PQC açılarının eşit ve 72° olması nedeniyle ΔCPQ ikizkenardır.
    Sadece "olmasını ne engelleyebilir?" dediğim yerden yüzde yüz emin değilim.
    chopin bunu beğendi.
  2. chopin

    chopin Yeni Üye

    Mesajlar:
    15
    Beğenileri:
    11
    Cinsiyet:
    Bay
    Honore Hocam,
    Nazik iltifatlariniz icin tesekkur ederim. Ama beni asil yetistiren ve cocuklugumdan beri benimle her gun ders calisan ve matematik konusundan bildigim her seyi bana ogreten babamdir. Benimle gurur duyuyorsa tabii ne mutlu bana.

    Kanitinizi okudum. Saniyorum unuttugum bir geometri bilgisi var, cunku bu kismi ben dusunememistim:
    Ama bu gayet guzel bir sekilde o ucgenin ikizkenarligini kanitliyor. Bu sayede de soruyu sentetik olarak cozmus oluyoruz. Elinize saglik.

    Fakat, dun gece aklima takilan birseyi sizle paylasmak istedim. PQRST'nin duzgun bir besgen oldugunu acilarla kanitlamistik, fakat, merkezinin O oldugunu kanitlamadik! Merkezinin O olmasi, sezgisel olarak dogru gorunuyor, fakat matematiksel olarak nasil kanitlanir emin degilim. AM, BN, CJ, DK, EL kenarlarinin "agirlik merkezi" simetrilerinden dolayi O olmali, ama bu gecerli bir kanit midir bilemiyorum.

    Onun disinda saniyorum bu soruyu uygun bir sekilde cozdugumuze inaniyorum. Artik rahatca uyuyabiliriz. :)
    Honore bunu beğendi.
  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    8.982
    Beğenileri:
    653
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Vallahi sayın Chopin, anneniz de babanız da gerçekten de çok şanslılarmış çünkü sizin gibi böyle gerçekten zekâ ve mantık deryası bir beyin gücüne sahip evlada sahip olmak onlar için de mutlaka büyük bir onur ve gururdur ve ikisi de sizinle herhalde çok keyif alarak ilgilenmişlerdir. Kendilerine lütfen en içten saygılarımı ve selamlarımı iletiniz.

    Şunu da söyleyeyim; profil bilgilerinize göre ABD'de mühendismişsiniz. İnanıyorum ki buradan zaten büyük başarılarla gittiğiniz Amerikan şirketleri sizi hemen kapmışlardır. Profildeki yaşınıza göre muhtemelen bir tane diye tahmin ettiğim çocuğunuz varsa inşallah onun da en az sizin kadar başarılı olmasını dilerim, varsayımım doğruysa sayın eşinizle beraber onun MIT ya da Ivy League okullarından birini veya batıda en azından Stanford, Caltech, Berkeley, vb. üniversitelerinden birini kazanması için gerekli planlarla bu hedefe uygun ön çalışmaları zaten yaptığınıza inanıyorum. O zamana kadar bu site batmazsa ve ben de henüz ölmemişsem inşallah bu güzel haberinizi duyarım, tabletiyle siteye bakabilecek eşime de özellikle tembih ettim.

    Sadece sizin yorumlarınız, çiziminiz, açıklamalarınız sayesinde (yoksa ben zaten çoktan bırakıp kaçmıştım) sentetik çözümü de yapılabilmiş bu probleme dönelim:

    Matematik ve geometride ispatlar çok severek ilgilendiğim problem türleri değil ama bu sorunuzu şöyle düşündüm:

    Bir an için düzgün olmadığı varsayılan PQRST çokgeninin kenarlarını, O noktasından geçen doğruların bu çokgenin kenarlarını keserek meydana getirdikleri merkez açıların eşit ve 72° olarak tam beş tane olduğunu gösterebilirsek O noktasının PQRST çokgeninin de simetri merkezi olduğunu ve bu sebeple PQRST çokgeninin bir düzgün beşgen olması gerektiğini söyleyemez miyiz?

    [AO] ∩ [ST] = {1}
    [EO] ∩ [RS] = {2}
    [DO] ∩ [QR] = {3}
    [CO] ∩ [PQ] = {4}
    [BO} ∩ [PT] = {5}
    ∡1O2 = ∡AOE = 72°
    ∡2O3 = ∡DOE = 72°
    ∡3O4 = ∡COD = 72°
    ∡4O5 = ∡BOC = 72°
    ∡5O1 = ∡BOA = 72°
    PQRST kenarları üzerindeki numaralı noktalardan geçerek yapılan dönüş tamamlandı ve numaralı noktalarla O merkezinin oluşturduğu merkez açıların hepsi birbirine eşit olarak 72° olduğundan PQRST çokgeni O merkezli bir düzgün beşgendir diye düşünüyorum.

    Not: Sizi bilmem ama bu hain problem uykularımı gerçekten çok böldü ama sayenizde en azından GeoGebra sistemini kullanmaya başladım, bunun için tekrar çok teşekkür ederim.
  4. chopin

    chopin Yeni Üye

    Mesajlar:
    15
    Beğenileri:
    11
    Cinsiyet:
    Bay
    Honore Hocam,
    Guzel sozleriniz ve dilekleriniz icin cok tesekkur ederim. Umarim bu siteyi daha nice yillar yurutebilmeniz, ve nice daha ogrenciye ve merakliya yardim edebilmeniz nasip olur.

    Yazdiginiz ispat beni ikna etti. Artik PQRST'nin orta noktasinin da O oldugunu bildigimiz icin, bu soruyu rahatlikla geride birakabiliriz.

    Geogebra'yi ben de bu soru sayesinde kesfetmis oldum. Umarim ilerde isinize yarar. Eski geometri sorularindan bakmami istedikleriniz varsa, onlari da Geogebra'ya koyup, yorum olarak link'leri ekleyebilirim. Ilerde, merak edip bakacak ogrencilere de yardimi dokunmus olur.
    Honore bunu beğendi.
  5. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    8.982
    Beğenileri:
    653
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Tamamdır sayın Chopin, konu başlığının rengini de kırmızıdan yeşile döndürüp sabitlikten çıkarıyorum. Sayenizde sentetik çözüm de yapılabildiğine hayretle inandım.

    İş yükünüz eminim ki çok yoğundur ve eğer gerçekten boş zamanınız çıkar da arada sırada sitede gezindiğinizde dikkatinizi çeken şeyler için ne yazarsanız yazın hem bana hem de ziyaretçilere çok katkısı olacağına adım gibi eminim. Bütün ilginiz için tekrar tekrar çok teşekkür ederek işlerinizde kolaylıklar diliyorum. Bu vesileyle sitemizin kurucusu ve sahibi sayın Bora Hocama da siteyi yıllardır aktif tuttuğu için ayrıca çok teşekkür borçluyum ama site daha ne kadar hayatta kalır bilmediğimden yapılanların birer kopyasını da torunum için sürekli harici bir diskte saklıyorum.

    Çok selamlar, sevgiler, saygılar sayın Chopin.
    chopin bunu beğendi.
Benzer Konular: Düzgün Beşgende
Forum Başlık Tarih
Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Düzgün Beşgende ve Çemberde Açı 5 Şubat 2023
Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Noktanın Analitiği-Düzgün Beşgende Köşegen Uzunluğu-Pisagor Teoremi-Trigonometri 27 Ağustos 2022
Dörtgenler ve Çokgenler Düzgün Beşgende Üçgen Çevreleri - Trigonometri 20 Haziran 2021
Dörtgenler ve Çokgenler Düzgün Altıgen ve Beşgende Açı - Sinüs Teoremi 6 Kasım 2018
İlginç ve Sıradışı Çözümler Düzgün Beşgende Uzunluk - Trigonometri 3 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş