Çözüldü Düzgün Beşgende Uzunluk - Trigonometri

Konusu 'İlginç ve Sıradışı Çözümler' forumundadır ve Honore tarafından 3 Haziran 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.656
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/j6M73J/be_gen.png
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=02ecfd935469784f30c844f71831151d&oe=5B7FB22F
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2092079564347392&set=g.1091681720847192&type=1&theater&ifg=1

    Kısa bir çözüm yapılana kadar maalesef yine trigonometri çilesi oldu. Çözüme göre açılarla kenar uzunluklarının şekil üzerinde yazılması ve bazı ara işlemlerin yapılması da varsa ilgilenen ve trigonometriye meraklı öğrencilere ödev.

    Düzgün beşgenin bir iç açısı (5 - 2)·180° / 5 = 108° ve kenar uzunluğu a birim.
    |HF| = x birim
    [AG] ⊥ [CD]
    DEC = DCE = (180° - 108°) / 2 = 36° = ECA = ACB = CAB ⇒ CBF = 36° + 36° = 72° (veya 180° - 108° = 72°)
    BCF = BFC = (180° - 72°) / 2 = 54°
    ACF = 36° + 54° = 90° ⇒ |CF| = 2a·cos54°
    [CE] // [AB]
    EFA = CEF = θ ⇒ FEA = 108° - 36° - θ = 72° - θ
    EAG = 360° - 90° - 108° - 108° = 54°
    [DE] // [AC]
    DCA = EAC = 180° - 108° = 72° ⇒ GAC = 90° - 72° = 18°
    ΔCDE için Sinüs Teoremi ile |CE| / sin108° = a / sin36° ⇒ |CE| = 2a·sin54°= |AC|
    ΔCEF için Sinüs Teoremi ile |EF| / sin(72° + 54°) = 2a·cos54° / sinθ
    18 / sin(180° - 126°) = 2a·cos54° / sinθ ⇒ a = 18·sinθ / cos18°....(I)
    ΔAFE için Sinüs Teoremi ile |EF| / sin108° = 2a / sin(72° - θ) ve (I) değeri burada sağ taraftaki yerine yazılırsa;
    18 / sin72° = [ 2(18·sinθ / cos18°) ] / sin(72° - θ)
    sin(72° - θ) = 2sinθ ⇒ cos(θ + 18°) = 2sinθ ⇒ tanθ = cos18° / (2 + sin18°)....(II)
    H noktasından [AF] kenarına inilen dikmenin ayağı T olsun.
    |HT| = x·sinθ ⇒ |AT| = x·sinθ·cot54....(III)
    |FT| = x·cosθ....(IV)
    (III) ve (IV) eşitlikleri kullanılarak x·sinθ·cot54 + x·cosθ = |AF| = 2a ve (I) eşitliği burada yerine konursa;
    x(sinθ·cot54 + cosθ) = 2(18·sinθ / cos18°)
    x(tanθ·cot54 + 1) = 36·tanθ / cos18° ve (II) eşitliği burada sol taraftaki yerine taşınırsa;
    x{ [ cos18° / (2 + sin18°) ]·cot54 + 1 } = { 36[ cos18° / (2 + sin18°) ] } / cos18°
    x(cos18°·cot54 + 2 + sin18°) = 36
    x = 36 / (cos18°·cot54° + 2 + sin18°)
    x = 36 / (cos18°·tan36° + 2 + sin18°)
    x = 36 / (cos18°·sin36° / cos36° + 2 + sin18°)
    x = 36·cos36° / (cos18°·sin36° + sin18°·cos36° + 2·cos36°)
    x = 36·cos36° / [ sin(36° + 18°) + 2·cos36° ]
    x = 36·cos36° / (sin54° + 2·cos36°)
    x = 36·cos36° / (cos36° + 2·cos36°)
    x = 36 / (1 + 2)
    x = 12 birim

  2. Benzer Konular: Düzgün Beşgende
    Forum Başlık Tarih
    Dörtgenler ve Çokgenler Düzgün Altıgen ve Beşgende Açı - Sinüs Teoremi 6 Kasım 2018
    Dörtgenler ve Çokgenler Düzgün Beşgende Uzunluk 27 Nisan 2014
    Matematik - Geometri Düzgün Sekizgende İkizkenar Üçgen Alanı 21 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Düzgün Kare Piramit 17 Haziran 2018
    Matematik - Geometri Düzgün Altıgende Çevrel Çember ve İç Teğet Çemberlerin Yarıçapları Oranı 14 Mart 2018

Sayfayı Paylaş