Çözüldü Eşkenar Üçgende Açı - Sinüs Teoremi - Trigonometrik Dönüşümler

Konusu 'Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik' forumundadır ve Honore tarafından 11 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.729
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ucgen310.png
    https://scontent-frx5-1.xx.fbcdn.ne...=34c45f54d6bae3bff8f68b2db2621d19&oe=5C7E5524
    https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.1400896990047840&type=3&theater&ifg=1

    Daha kısa bir sentetik çözüm de mutlaka vardır, yapmak isteyen hayırseverler olursa şimdiden çok teşekkürler.
    |CD| = a
    |AE| = a + 3 - 6 = a - 3
    BAD = 60° - α
    CDE = 90° - α
    AED = 150° - α
    ΔABD için Sinüs Teoremi ile |AD| / sin60° = 3 / sin(60° - α)....(I)
    ΔACD için Sinüs Teoremi ile |AD| / sin60° = a / sin(α)....(II)
    ΔADE için Sinüs Teoremi ile |AD| / sin(150° - α) = (a - 3) / sin30°....(III)
    (I) ve (II) eşitliklerinden a = [ 3sin(α) ] / sin(60° - α)....(IV)
    (I) ve (III) eşitlikleri taraf tarafa bölünürse; [ sin(150° - α) ] / sin60° = { 3 / [ sin(60° - α) ] }·(sin30°) / (a - 3)....(V)
    (IV) değeri (V) eşitliğinde sağ tarafta paydadaki yerine konup sadeleştirilerek düzenlenirse;
    [ sin(150° - α) ]·[ sin(α) - sin(60° - α) ] = (sin30°)·sin60°....(VI)
    [ sin(30° + α) ]·2·{ sin[ (2α - 60°) / 2 }·cos[ (α + 60° - α) / 2 ] = (sin30°)·sin60°
    2[ sin(30° + α) ]·[ sin(α - 30°) ]·cos30° = (sin30°)·sin60°
    [ sin(30° + α) ]·[ sin(α - 30°) ] = (tan30°)·(sin30°)·sin60°
    (-1 / 2)[ cos(30° + α + α - 30°) - cos(30° + α - α + 30°) = (tan30°)·(sin30°)·sin60°
    (-1 / 2)cos(2α) + (1 / 2)cos60° = (tan30°)·(sin30°)·sin60°
    -cos(2α) + 1 / 2 = (tan30°)·sin60°
    cos(2α) = 1 / 2 - (1 / √3)·[ (√3) / 2 ]
    cos(2α) = 0 = cos(90°)
    2α = 90°
    α = 45°
    ---
    Not: Bir test sınavında (VI) eşitliğinden sonraki işlemler yerine seçeneklerden önce 30° ve 45° açılarının bu eşitliği sağlayabileceği düşünülebilir çünkü 15°, 20°, 40° için oluşan trigonometrik değerlerin sağlama olasılığı oldukça düşüktür. 30° için de eşitliğin sol tarafının 0 olacağı hemen görülerek en önce 45° denenebilir:
    (sin105°)·[ sin45° - sin(60° - 45°) ] = (sin30°)·sin60°
    (sin75°)·2(sin45° - sin15°) = (sin30°)·sin60°
    (sin75°)·2(sin15°)·(cos30°) = (sin30°)·sin60°
    (cos15°)·2(sin15°) = sin30°
    sin30° = sin30°

  2. Benzer Konular: Eşkenar Üçgende
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Eşkenar Üçgende Uzunluk - Pisagor Teoremi 15 Eylül 2018
    Matematik - Geometri Eşkenar Üçgende Açı 28 Temmuz 2017
    Matematik - Geometri Doğrunun ve Noktanın Analitiği - Eşkenar Dörtgen 30 Mayıs 2018
    Resim Dosyaları veya Bağlantı Adresleri (linkleri) Silinmiş Sorular ve Çözümler eşkenar dörtgn-dikdörtgen 14 Aralık 2012
    Resim Dosyaları veya Bağlantı Adresleri (linkleri) Silinmiş Sorular ve Çözümler eşkenar üçgen 2 soru 8 Ekim 2012

Sayfayı Paylaş