Eşkenar ve Dik Üçgende Açı, Uzunluk-Trigonometri-Programlama (Sentetik Çözüm Olursa Çok Şaşarım))

Sayın Prof.Dr. Mustafa Özdemir'in bir kitabındaki çözümsüz sorulardan:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen103.png
https://drive.google.com/file/d/1jVfnQ1ZIgRWIJIL_RSS6D94D-ZB6S-HE/view?usp=share_link
(Son problem)

Bu sayılarla ancak trigonometrik çözüm ve o da hesap makinesi veya bilgisayar programlamayla olabilir. Ayrıca hem Google AI Bard'a hem de ChatGPT'ye sordum ama ikisi de saçmaladı. Birçok eksiğine rağmen hâlâ WolframAlpha matematiksel işlemlerde en iyi hesaplayıcı.

Çözüm - 1:
Eşkenar üçgenin kenar uzunluğu: p birim
Eşkenar üçgenin içindeki nokta: O
|AO| = 5 birim
|BO| = 7 birim
|CO| = 8 birim
∡AOB = α
∡BOC = β
∡AOC = 2π - (α + β)
Kosinüs Teoremi uygulanarak;
p^2 = 5^2 + 7^2 - 2·5·7·cos(α) = 74 - 70·cos(α)....(I)
p^2 = 7^2 + 8^2 - 2·7·8·cos(β) = 113 - 112·cos(β)....(II)
p^2 = 5^2 + 8^2 - 2·5·8·cos[ 2π - (α + β) ] = 89 - 80·cos(α + β)....(III)
(I), (II), (III) denklemleri WolframAlpha'ya çözdürülürse;
https://www.wolframalpha.com/input?...2pi-(alpha+beta)),p^2=7^2+8^2-2*7*8*cos(beta)
α = ∡AOB ≈ 141,79°
β = ∡BOC ≈ 98,213°
∡AOC ≈ 119,997°
p = |AB| ≈ 11,3578 birim.

Çözüm - 2
(Bu üç bilinmeyenli trigonometrik denklem sistemini WolframAlpha da çözemedi. Geliştirme ekibine "Feedback" ile bildirdim.)
∡OBC = θ (theta), ∡OCB = β (beta), ∡CAO = φ (phi)
O'dan [BC]'ye inilen yüksekliğin [BC]'yi kestiği nokta: D
O'dan [AC]'ye inilen yüksekliğin [AC]'yi kestiği nokta: E
O'dan [AB]'ye inilen yüksekliğin [AB]'yi kestiği nokta: F
|DO| = 7·sin(θ) = 8·sin(β)....(IV)
|EO| = 8·sin(60° - β) = 5·sin(φ)....(V)
|FO| = 7·sin(60° - θ) = 5·sin(60° - φ)....(VI)
|AB| = |BF| + |AF| = 5·cos(60° - θ) + 5·cos(60° - φ)....(VII)
(IV), (V), (VI) numaralı denklem sisteminin çözümüne bağlı (VII) sonucu ancak bir bilgisayar programıyla bulunabilir.

Fortran Uygulaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen_16.png