Çözüldü Fonksiyon ve Polinomlar - İki Bilinmeyenli Denklem - Parabol ve Belirsiz Katsayılar Kuralı

Association of Mathematics Teacher New Jersey High School Contest 2013 çözümlü sorularından TYT uyarlaması:

x ∈ R - {2} olmak üzere [ 2f(x) - f(1 - x) ] / (x - 2) = 2x - 1 ise f(4) = ?

A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/amtnj10.png
https://amtnj.org/wp-content/uploads/2021/05/2013hscontest.pdf (Sayfa 2, Soru 8)
Çözüm: https://amtnj.org/wp-content/uploads/2021/05/2013hssols.pdf (Sayfa 1)

Çözüm - 2:
f(x) = ax^2 + bx + c gibi ikinci derece bir polinom fonksiyonu olacağından f(1 - x) = a(1 - x)^2 + b(1 - x) + c yazılıp,
2ax^2 + 2bx + 2c - [ a(1 - x)^2 + b(1 - x) + c ] = (2x - 1)(x - 2) halinde düzenlenerek,
f(x) = (a - 2)x^2 + (2a + 3b + 5)x - a - b + c = 0 eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) uygulanırsa;
a - 2 = 0, 2a + 2b + 5 = 0, -a - b + c = 0 denklem sisteminin çözümünden a = 2, b = -3, c = 1 katsayılarıyla f(x) = 2x^2 - 3x + 1 olup f(4) = 32 - 12 + 1 = 21.

Not: Soru "Çözüm - 2"deki yaklaşımla biraz zorlaştırılarak AYT problemi haline getirilebilir. Örneğin f(x) parabolünün extremum noktası sorulabilir.