Çözüldü Geometrik Dizi - Üçüncü Derece Denklem

Konusu 'Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant' forumundadır ve ser_kan55 tarafından 19 Mayıs 2010 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. ser_kan55

    ser_kan55 Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı 76 dır. Dördüncü terim ikinci terimden 30 fazla olduğuna göre, geometrik dizinin ilk terimi kaçtır?

    A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

  2. Benzer Konular: Geometrik Üçüncü
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar - Geometrik Yer - Çemberin Analitiği 29 Haziran 2018
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Geometrik Seri - Devirli Ondalık (Rasyonel) Sayılar 26 Haziran 2018
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Geometrik Seri - Üslü Sayılar - Üçgende Alan 12 Haziran 2018
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Geometrik Seri - Pisagor Teoremi 8 Haziran 2018
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Geometrik Dizi 11 Mayıs 2018

  3. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.602
    Beğenileri:
    270
    Ynt: GEOMETRİK DİZİ

    Bu sorunun kaynağı nedir acaba?..Olimpik bir soruya benziyor.

    [​IMG]
  4. ser_kan55

    ser_kan55 Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Ynt: GEOMETRİK DİZİ

    öğrencinin biri getirmişti hangi yayın olduğunu hatırlamıyorum.....

    üçüncü derece denklemden r yi bulmak zor gelmişti... özel bir çözümü var mı diye merak ettim........

    teşekkürler....... üçüncü derece denklemi güzel çözmüşsünüz..
  5. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.602
    Beğenileri:
    270
    Ynt: GEOMETRİK DİZİ

    Ricâ ederim.
    Ben de, bana sorunun olimpik bir havası var gibi geldi de -ki, soru olimpiktir- ondan sordum. Çünkü 3 tane r -üçüncü dereceden denklemin diskriminantı>0 dır- var ve soru biraz da eksik gibi.
    Soru; "ortak çarpanı irrasyonel olmayan bir geometirik dizinin..." diye başlamalıydı bana göre... Bu terkible başlaması soruyu daha entellektüel ve daha etkileyici yapıyor.)

    Bu arada siteye hoş geldiniz Serkan Hocam.. Böyle dersek, sanırım hata etmiş olmayız.:)
    Son düzenleyen: Moderatör: 11 Mart 2018
  6. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.388
    Beğenileri:
    343
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Cem Hocamızın çözümü imageshack.us'den silindiği için:
    İlk dört terim sırasıyla x, y, z, t ve ortak çarpan (oran) r ise;
    y = x·r....(I)
    z = x·(r^2)....(II)
    t = x·(r^3) = y + 30 = x·r + 30 ⇒ x = 30 / (r^3 - r)....(III)

    Test Çözümü (problemde verilen ilk eşitlik gerekmeden):
    a, b ∈ N^(+)
    r = a / b....(IV)
    (IV) ifadesi (III) eşitliğinde kullanılırsa;
    x = 30·(b^3) / [ a(a - b)(a + b) ]....(V)
    Seçeneklere göre x ∈ N^(+) olduğundan (V) eşitliğinde a > b olması gerektiği için (ve x bir sayma sayısı kalacak şekilde);
    a = 2 ve b = 1 için x = 5
    a = 3 ve b = 2 için x = 16 bulunur.
    ---
    Klasik Sınav Çözümü:
    x + y + z + t = 76....(VI)
    İlk terim ve (I), (II), (III) eşitlikleri (VI) bağıntısında yerlerine konup düzenlenirse;
    x = 76 / (r^2 + r + 1)....(VII)
    (III) ve (VII) numaralı denklemlerden;
    30 / (r^3 - r) = 76 / (r^2 + r + 1) ve r değişkenine bağlı 3. derece bir denklem olarak yazılırsa;
    38r^3 - 15r^2 - 53r - 15 = 0 olup Rasyonel Kök Teoremi [Rational Zero (Root) Theorem] gereğince son terim olan 15 sayısının çarpanları 1, 3, 5, 15 ve en büyük dereceli terimin katsayısı olan 38 sayısının çarpanları da 1, 2, 19, 38 olduğundan reel köklerden biri;
    ∓1, ∓1 / 2, ∓1 / 19, ∓1 / 38, ∓3 / 1, ∓3 / 2, ∓3 / 15, ... ve "denenebilecek" kökler ∓1, ∓1 / 2, ∓3 / 2, ∓3 olup denklem r[ r(38r - 15) - 53) ] - 15 şeklinde yazılarak
    r[ r(38r - 15) - 53) ] teriminin tamsayı olabilmesi için r = 3 / 2 olduğu kolayca görülüp (III) eşitliğinden de;
    x = 30 / [ (3 / 2)(3 / 2 - 1)(3 / 2 + 1) ] = 20 / [ (1 / 2)(5 / 2) ] = 20·4 / 5 = 16 olur.
    Bora. bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş