Çözüldü İkinci Derece ve Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem

Çözüm yüklendiği www.imageshack.us sitesinden silinmiş (zaten o sitenin dini imanı para!)

Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) Yöntemi ile yapalım;
Karakteristik denklem: r^2 - 1 = 0 ⇒ r = ∓1
y = C1·e^(-x) + C2·e^x....(I)
y' = C1'·e^(-x) - C1·e^(-x) + C2'·e^x + C2·e^x
Bütünler Şart: C1'·e^(-x) + C2'·e^x = 0....(II) ⇒ y' = -C1·e^(-x) + C2·e^x....(III)
y'' = -C1'·e^(-x) + C1·e^(-x) + C2'·e^x + C2·e^x....(IV)
(IV) ve (I) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konulursa;
-C1'·e^(-x) + C1·e^(-x) + C2'·e^x + C2·e^x - (C1·e^(-x) + C2·e^x) = cos(x)
-C1'·e^(-x) + C2'·e^x = cos(x)....(V)
(II) ve (IV) denklemlerinin çözümü için iki denklem taraf tarafa toplanıp düzenlenerek;
C2' = (1 / 2)·e^(-x)·cos(x) ⇒ C2 = ∫ (1 / 2)·e^(-x)·cos(x) dx integral işlemi kısmi integrasyonla ve ilgilenen öğrencilere ödev olmak üzere yapıldığında C2 = (1 / 4)·e^(-x)·[ sin(x) - cos(x) ] + K2....(VI)
(II) ve (IV) denklemleri taraf tarafa çıkartılıp düzenlendiğinde ise C1' = (-1 / 2)·e^x·cos(x) ⇒ C1 = ∫ (-1 / 2)·e^x·cos(x) dx
C1 = (-1 / 4)·e^x·[ sin(x) + cos(x) ] + K1....(VII)
(VII) ve (VI) ifadeleri (I) eşitliğindeki yerlerine yazılınca;
y = { (-1 / 4)·e^x·[ sin(x) + cos(x) ] + K1 }·e^(-x) + { (1 / 4)·e^(-x)·[ sin(x) - cos(x) ] + K2 }·e^x
y = (-1 / 4)·[ sin(x) + cos(x) ] + (1 / 4)·[ sin(x) - cos(x) ] + K1·e^(-x) + K2·e^x
y = K1·e^(-x) + K2·e^x - (1 / 2)·cos(x) ve gerekli olmamasına rağmen WolframAlpha da beğensin diye standart sabitlerle;
y = c1·e^(-x) + c2·e^x - (1 / 2)·cos(x).

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/VjyJzPX/Lagrange-VOP.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=y''-y=cos(x)

Not: Çözüm, genel olarak tercih edilen ve biraz daha kolay gibi olan Belirsiz Katsayılar Yöntemi ile de yapılabilir ve bu konuda da forumda çok örnek var. İlgilenen öğrencilere ödev.