Çözüldü İntegral - Trigonometrik Türev - Doğrunun Analitiği - Küpköklü ve Üstel Sayılar

Ortaöğretim programından integralin kaldırılışını kutlama şenliklerine Cornell University'den çözümsüz bir problemin fen lisesi klasik sınavı için birazcık zorlaştırılmış uyarlamasıyla devam ediyoruz:

eşitliğiyle tanımlı y = f(x) fonksiyonunun apsisi 4 olan noktasındaki teğetinin ordinat eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?

g(t) = t^2 fonksiyonunun integrali t^(3) / 3 ve [ 0, f(x) ] aralığındaki integrali [ f(x) ]^3 / 3 - 0^3 / 3 = x·cos(π·x) olup buradan
f(x) = [ 3x·cos(π·x) ]^(1 / 3) ⇒ f '(x) = [ 3·cos(π·x) - 3π·x·sin(π·x) ] / { 3·[ 3x·cos(π·x) ]^(2 / 3) }
Teğetin x = 4 apsisli noktadaki eğimi: f '(4) = [ 3·cos(4π) - 12π·sin(4π) ] / { 3·[ 12·cos(4π) ]^(2 / 3) }
f '(4) = (3·1 - 0) / { 3·[ 144^(1 / 3) ] } = 1 / [ 2·(18)^(1 / 3) ]
Teğetin değme noktasının ordinatı: y = f(4) = [ 3·4·cos(4π) ]^(1 / 3) = 12^(1 / 3)
Teğetin denklemi: y - 12^(1 / 3) = { 1 / [ 2·(18)^(1 / 3) ] }·(x - 4)
Teğetin y eksenini kestiği nokta: y = 12^(1 / 3) - 4 / [ 2·(18)^(1 / 3) ] =
[ (18·12)^(1 / 3) - 2 ] / [ (18)^(1 / 3) ] =
{ [ (2^3)·(3^3) ]^(1 / 3) - 2 } / [ (18)^(1 / 3) ] =
(6 - 2) / [ (18)^(1 / 3) ] =
4 / [ (18)^(1 / 3) ] birim.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/cornel18.png

Not: İşlemlerdeki bazı parantezler gereksizdir ve sadece işlem önceliklerinde emin olamayan öğrenciler için kullanılmıştır.

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/cornel17.png
https://pi.math.cornell.edu/~dmehrle/teaching/17fa/1910/handouts/1910fa17-final-review-solutions.pdf
(Sayfa 2, Soru 3.b)