Çözüldü İstatistikte Normal Olasılık Dağılışı - İntegral ve Sayısal İntegrasyonda Yamuk Kuralı (YKS'de Yok)

Bir kitaptaki çözümlü poblemden fen lisesi için test uyarlaması:

Uygulamalı bilim dallarının çoğunda gözlenen sürekli şans değişkenlerinin büyük bir çoğunluğunun frekans dağılışı yaklaşık olarak çan eğrisi görünümünde olup istatistikte "Normal Olasılık Dağılışı" adı verilen bir fonksiyonla ifade edilmektedir. Matematiksel olarak, sürekli bir X şans değişkeni için yaklaşımı yapılan olasılık fonksiyonu;
f(x) = { 1 / [ σ·√(2π) ] }·e^[ -(x - µ)^2 / (2·σ^2) ], (-∞ < x < ∞)
gibi bir eşitlikle ifade ediliyorsa, bu değişkenin normal olasılık dağılışı veya kısaca normal dağılış gösterdiği kabul edilir ve bu fonksiyonda;
f(x): Eğrinin ordinat yüksekliği
µ: Normal dağılış gösteren popülasyonun ortalaması, µ ∈ R
σ: Dağılışın standart sapması, σ ≥ 0
Bu eğrinin altındaki alan olasılıkları verdiğinden kapladığı toplam alan 1'e eşit olup z = (x - µ) / σ dönüşümündeki z değişkeninin oluşturduğu dağılışın ortalaması 0 ve standart sapması 1'dir.
Normal dağılış ortalama etrafında simetrik olduğundan ortalamanın sağında ve solunda kalan yarım alanlar ise 1 / 2'dir.
Bu bilgilere göre;
Aşağıdaki integrallerden hangisi -z ile +z arasındaki alanın 0,95 olmasını sağlayan z değerini verir?


https://i.ibb.co/tB39Gv5/lagrida-latex-editor.png

WolframAlpha Çözümü:

https://i.ibb.co/VSCH4TP/Normal-Dagilis-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(integrate 1/sqrt(2pi)*e^(-z^2/2) dz) = 0.95/2

Kaynaklar:
1. "İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Bilgisayar Bilimleri Müh.liği, 1986, Sayfa 115, 116, 118, 119, 122 (Örnek 4)
2. https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/130860/mod_resource/content/0/akt102_hafta_06.pdf

Bilgisayar Programlamayla İlgilenen Öğrenciler İçin Fortran Çözümü:

https://i.ibb.co/6n5qDQG/Normal-Dagilis-Fortran.png

Program:

Kod:

program yamuk_kurali
implicit none
integer :: i, N=200, M
real, external :: f
real :: XB=-1.96, XS=1.96, DX, X0, YK, S
! XB ile XS: Alt ve üst sınırlar
! DX: Aralık genişliği
! N: Aralık sayısı
DX = (XS - XB) / N
X0 = XB
YK = ( f(XS) + f(XB) ) / 2.
M = N - 1

do i = 1, M
   X0 = X0 + DX
   YK = YK + f(X0)
enddo

S = YK * DX ! İntegral değeri

write(6,10)"Alt Sinir = ",XB
write(6,10)"Ust Sinir = ",XS
write(6,15)"Aralik Sayisi = ",N
write(6,10)"Integral = ", FLOAT(INT(S * 1000.0 + 0.5)) / 1000.0 !Yuvarlatılıyor

10 format (a, f6.3,/)
15 format (a, i3,/)

end program

function f(X)
real :: f, X, pi=4*atan(1.)
f = 1 / SQRT(2*pi)*exp(-X**2 / 2.)
end function

Not: İstatistiksel incelemelerde bu şekilde integral işlemiyle çözüme gitmek gereksiz zaman alıcı olduğundan Normal Dağılış Olasılık tabloları kullanılır. Örneğin, bu problemde (1 - 0,95) / 2 = 0.025 ve 1 - 0,025 = 0,975 değeri aşağıdaki tabloda bulunur ve o değere;
en soldaki sütunda karşılık gelen 1,9
en üstteki satırda karşılık gelen 0,06
sayıları toplanarak 1,96 elde edilir.

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/z-tabl10.png

University of Utah'tan bir örnek:
Bir sigorta firmasının 10.000 kasko müşterisi olup poliçe sahiplerinin yıllık hasar bildirimlerinin, birbirlerinden bağımsız ve homojen dağıldıkları varsayımıyla, ortalaması (beklenen değeri) ve standart sapması sırasıyla 240 dolar ve 800 dolar ise yıllık toplam talebinin 2,5 milyon dolardan fazla olma olasılığı yaklaşık kaçtır?


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utah17.png
http://www.math.utah.edu/~zhu/5010.11f/final_prac.pdf (Son soru)
Çözüm: http://www.math.utah.edu/~zhu/5010.11f/final_prac_solu.pdf

Önceki problemde verilen normal dağılış tablosunda z = 1,25 için soldaki sütunda 1,2 ve en üst üstteki satırda 0,05 değerlerinin kesişimindeki 0,8944 değeri 1'den çıkartılınca 0,1056 bulunur, yani aranan olasılık % 10,56 ≈ % 10,6'dır.
Fortran programında XB = 0 ve XS = 1.25 değerleri için hesaplanan 0.394 değeri 0.5'ten çıkartılınca 0.106 yani yine yaklaşık % 10,6 bulunur.

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utah_f10.png

i.i.d: Independent and Identically Distributed
https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utah_w11.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=P(z>1.25)=?