Çözüldü Kapalı Fonksiyon Türevi - Doğrunun Analitiği

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 12 Mayıs 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.465
    Beğenileri:
    539
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    ODTÜ'den hafifçe zorlaştırılmış bir uyarlama:

    (1, -1) noktasından geçen ve 1 + x·y^2 = sec(x + y) + x^(y + 1) fonksiyonuna teğet olan doğrunun eksenlerle arasındaki bölgenin alanı kaç birim karedir?

    1 + 1(-1)^2 = sec(1 - 1) + 1^(-1 + 1)

    1 + 1 = 1 + 1 olduğundan (1, -1) noktası fonksiyonun üzerindedir ve bu nedenle kapalı fonksiyon türevi (implicit derivative) alınırsa;

    0 + 1·y^2 + 2y·y'·x = (1 + y')·sec(x + y)·tan(x + y) + [ x^(y + 1) ]'

    y^2 + 2y·y'·x = (1 + y')·sec(x + y)·tan(x + y) + [ x^(y + 1) ]'....(I)

    Eşitliğin sağındaki son terim olan üstel fonksiyonun türevinin bulunması için logaritma fonksiyonu kullanılırsa;

    x^(y + 1) = A....(II)

    (y + 1)·lnx = lnA

    y'·lnx + (y + 1)·(1 / x) = A' / A

    [ x^(y + 1) ]' = A' = A·[ y'·lnx + (y + 1) / x ] ve (II) eşitliği burada yerine yazılırsa;

    [ x^(y + 1) ]' = A' = [ x^(y + 1) ]·[ y'·lnx + (y + 1) / x ] ve bu ifade düzenlenirse;

    [ x^(y + 1) ]' = A' = y'·[ x^(y + 1) ]·lnx + (x^y)·(y + 1)....(III)

    (III) eşitliği, (I) ifadesinde yerine yazılırsa;

    y^2 + 2y·y'·x = (1 + y')·sec(x + y)·tan(x + y) + y'·[ x^(y + 1) ]·lnx + (x^y)·(y + 1)

    Teğetinin eğiminin (m) bulunması için x = 1, y = -1 yazılırsa;

    (-1)^2 + 2(-1)m = (1 + m)·sec0·tan0 + m·(1^0)·ln1 + [1^(-1)]·0

    1 - 2m = 0 + 0 + 0

    m = 1 / 2

    (1, -1) noktasından geçen ve eğimi 1 / 2 olan doğrunun denklemi y - (-1) = (1 / 2)(x - 1) olup düzenlenirse y = x / 2 - 3 / 2 bulunur ve eksenleri kestiği noktalar da (3, 0) ve
    (0, -3 / 2) olduğundan burada oluşan üçgenin alanı 3·(3 / 2) / 2 = 9 / 4 birim^2 bulunur.

    Sorunun aslı ve sayın Yrd.Doç.Dr.İbrahim Ünal Hoca'nın gidiş yolu biraz farklı türev çözümü:
    [​IMG]
    https://s19.postimg.org/92wnfdl37/kapal_t_rev.png
    http://file.ma119.math.metu.edu.tr/Dosyalar/Math119_2016-2/m1ss.pdf
    (Soru 1.c)
     

  2. Benzer Konular: Kapalı Fonksiyon
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Değişim Oranı (Rate of Change) - Kapalı Fonksiyon Türevi (YKS 2020'de yok) 15 Ocak 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Kapalı (Implicit) Fonksiyon Türevi - Teğet Eğimleri 4 Ekim 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Kapalı Fonksiyon Türevi - İkinci Derece Denklemde Kökler Farkı 19 Nisan 2019
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular Kapalı Fonksiyon Türevi (Implicit Differentiation) (seçenekler hatalı) 14 Nisan 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Kapalı Fonksiyon Teoremi (Implicit Function Theorem) - Kısmi Türev (Partial Derivative) 14 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş