Çözüldü Karede Alan

Analitik yolla veya daha kısa bir çözüm yapamadım;

https://image.ibb.co/gjek29/Kare3.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=334172193429623&set=g.703383433087490&type=1&theater&ifg=1

|CF| = √(3^2 + 1^2) = √10
|BF| = √(10 - a^2)....(I)
Karenin bir kenarı: a
|DO| = √(9 - a^2) ⇒ |AO| = a - √(9 - a^2) ⇒ |AF| = { 1 - [ a - √(9 - a^2) ]^2 }^0,5 = [ 2a√(9 - a^2) - 8 ]^0,5....(II)
|AF| + |BF| = a eşitliğinde (I) ve (II) ifadeleri yerlerine yazılırlarsa;
[ 2a√(9 - a^2) - 8 ]^0,5 + √(10 - a^2) = a
2a√(9 - a^2) - 8 = [ a - √(10 - a^2) ]^2
2a√(9 - a^2) - 8 = a^2 - 2a√(10 - a^2) + 10 - a^2
a√(9 - a^2) - 4 = 5 - a√(10 - a^2)
√(9 - a^2) + √(10 - a^2) = 9 / a
9 - a^2 + 2[ (9 - a^2)(10 - a^2) ]^0,5 + 10 - a^2 = 81 / a^2
2a^4 - 19a^2 + 81 = (2a^2)·[ (9 - a^2)(10 - a^2) ]^0,5....(III)
a^2 = t değişken dönüşümüyle (III) eşitliği
2t^2 - 19t + 81 = 2t·[ (9 - t)(10 - t) ]^0,5 haline gelir ve
(2t^2 - 19t + 81)^2 = (4t^2)(9 - t)(10 - t)
[ 2t^2 - (19t - 81) ]^2 = (4t^2)(9 - t)(10 - t)
4t^4 - 76t^3 + 685t^2 - 3078t + 6561 = 4t^4 - 76t^3 + 360t^2
325t^2 - 3078t + 6561 = 0
t = [ 1539 ∓ √(1539^2 - 325·6561) ] / 325
t = (1539 ∓ 486) / 325
t1 = 2025 / 325 = 81 / 25
t2 = 2053 / 325 = 81 / 13 = a^2

Sağ olun sayın Bora Hocam, ben de bu arada biraz daha düşünmüştüm ve dediğiniz gibi benzerlikle sayıları biraz daha küçük bir denkleme giderek ancak şöyle yapabildim:

Karenin kenar uzunluğu: a
|AO| = x
(Açı-Açı-Açı) nedeniyle ∆CDO ~ ∆AFO
∡DCO = ∡FOA ⇒ cos(∡DCO) = cos(∡FOA) ⇒ a / 3 = x / 1 ⇒ x = a / 3....(I) ⇒ |DO| = a - x = 2a / 3....(II)
|AF| = √(1 - x^2) = √(1 - a^2 / 9) = (1 / 3)√(9 - a^2)....(III)
|BF| = a - |AF| = a - (1 / 3)√(9 - a^2)....(IV)
Alan(ABCD) = Alan(∆CDO) + Alan(∆CFO) + Alan(∆AFO) + Alan(∆BCF)....(V)
(II), (III), (IV) ifadeleri (V) eşitliğinde sağ taraftaki yerlerine konarak;
a^2 = a·(2a / 3) / 2 + 1·3 / 2 + (a / 3)(1 / 3)√(9 - a^2) / 2 + a[ a - (1 / 3)√(9 - a^2) ] / 2
a^2 = 2a^2 / 6 + 3 / 2 + a√(9 - a^2) / 18 + a[ 3a - √(9 - a^2) ] / 6 olup sadeleştirilerek düzenlenirse (ara işlemler ilgilenen öğrenci üyelere ödev);
2a√(9 - a^2) = 27 - 3a^2
13a^4 - 198a^2 + 729 = 0
a^2 = [ 99 ∓ √(99^2 - 13·729) ] / 13
a^2 = (99 ∓ 18) / 13
a^2 = 117 / 13 V a^2 = 81 / 13

Zihninize sağlık sayın Bora üstadım, zaman ayırdığınız için eksik olmayın. Öğrenci üyeler adına da çok teşekkür ederim çünkü yine iliaç gibi bir çözüm yapmışsınız, selamlar, hürmetler. (Başlığın rengini yeşile döndürdüm)