Çözüldü Karmaşık Sayılarda Karekök

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 10 Şubat 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.309
    Beğenileri:
    329
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    z = x + y·i ise √z + z = -2 + 6i eşitliğini sağlayan karmaşık sayı hangisi olabilir?
    A) 1 + 2i
    B) 1 - 2i
    C) -3 + 4i
    D) -3 - 4i
    E) 3 + 4i

    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1609379879155016&set=gm.379173222514962&type=3&theater

    Çözüm - 1:
    w = -2 + 6i ⇒ √z = w - z ⇒ z = [ 2w + 1 ∓ √(4w + 1) ] / 2

    z = [ -3 + 12i ∓ √(-7 + 24i) ] / 2....(I)

    24 > 0 olduğundan √(-7 + 24i) = ∓ ( { [ (24^2 + 7^2)^0,5 - 7 ] / 2 }^0,5 + i·{ [ (24^2 + 7^2)^0,5 + 7 ] / 2 }^0,5 )

    √(-7 + 24i) = ∓{ [ (25 - 7) / 2 ]^0,5 + i·[ (25 - 7) / 2 ]^0,5 }

    √(-7 + 24i) = ∓(3 + 4i)....(II)

    (II) değerleri (I) eşitliğinde yazılarak;

    z1 = (-3 + 12i + 3 + 4i) / 2 = 8i (seçeneklerde verilmeyen ama eşitliği problemdeki eşitliği sağlayan diğer z karmaşık sayısı)

    z2 = (-3 + 12i -3 - 4i) / 2 = -3 + 4i bulunur.
    ---
    Çözüm - 2:
    √z = a + bi ⇒ z = a^2 + 2abi - b^2

    a + bi + a^2 + 2abi - b^2 = -2 + 6i

    a^2 - b^2 + a + b(1 + 2a)i = -2 + 6i

    a^2 - b^2 + a = -2....(I)

    b(1 + 2a) = 6 ⇒ b = 6 / (1 + 2a)....(II)

    (II) değeri (I) eşitliğinde yazılıp a değişkenine bağlı denklem 4a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 9a - 34 = 0 denkleminden Rasyonel Kök Teoremi gereğince mümkün olan ∓1, ∓2, ∓17, ∓34 sayılarından a1 = 1 denklemi sağlar.

    Dördüncü derece polinomun köklerinden birinin yine aynı teorem gereğince a2 = -2 olduğu görülebilir.

    O halde b1 = 6 / (1 + 2·1) = 2 ve z1 = 1^2 + 2·1·2·i - 2^2 = -3 + 4i bulunur (C şıkkı) ve a2 ile b2 değerlerinin bulunmasına gerek kalmaz.

  2. Benzer Konular: Karmaşık Sayılarda
    Forum Başlık Tarih
    İlginç ve Sıradışı Çözümler Karmaşık Sayılarda Eşlenik 16 Haziran 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Euler Formülü 15 Haziran 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Eşlenik (Conjugate) 24 Mayıs 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Eşlenik 16 Mayıs 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Argüman 7 Ekim 2017

Sayfayı Paylaş