Çözüldü Karmaşık Sayılarda Olasılık

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 22 Aralık 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.149
    Beğenileri:
    445
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Lehigh University Math Contest 2019 sorularından çözümlü bir örnek:
    z karmaşık sayısı için z^2019 - 1 = 0 denkleminin rastgele seçilmiş iki kökü v ve w ise |v + w| ≥ (2 + √2)^0,5 olma olasılığı kaçtır?

    Köklerden biri 1 olup diğerleri (2018 tane) birbirlerinin eşleniği olacağından w = 1 seçilerek incelenebilir.
    v kökü ise k ∈ Z ve v = z = 1^(1 / 2019) = [ e^(i·k·2π) ]^(1 / 2019) = e^(i·k·2π / 2019) eşitliğinde 2019 = 2·1009 + 1 nedeniyle k = ∓1, ∓2, ..., ∓1009 değerlerini alabilir ve olası v kökleri v = cos(k·2π / 2019) + i·sin(k·2π / 2019)....(I) şeklinde yazılır.
    |v + w| ≥ (2 + √2)^0,5 eşitliğinden |v + 1|^2 ≥ 2 + √2....(II)
    (I) eşitliği (II)'deki yerine konularak;
    |cos(k·2π / 2019) + i·sin(k·2π / 2019) + 1|^2 ≥ 2 + √2
    |cos(k·2π / 2019) + 1 + i·sin(k·2π / 2019)|^2 ≥ 2 + √2
    [ cos(k·2π / 2019) + 1 ]^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 ≥ 2 + √2
    [ cos(k·2π / 2019) ]^2 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ]·1 + 1^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 ≥ 2 + √2
    [ cos(k·2π / 2019) ]^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 + 1 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ] ≥ 2 + √2
    1 + 1 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ] ≥ 2 + √2
    cos(k·2π / 2019) ≥ (√2) / 2
    cos(k·2π / 2019) ≥ cos(π / 4) eşitsizliğinden |k·2π / 2019| ≤ π / 4 yazılır çünkü açı küçüldükçe kosinüs fonksiyonunda değeri 1'e yaklaşır.
    O halde k ∈ Z olduğundan |k| ≤ 2019 / 8 = 252,375 eşitsizliğiyle |k| ≤ 252 bulunarak aranan olasılık 252 / 1009 olur.

    Sorunun Aslı ve Çözümü:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lehigh10.png
    https://www.lehigh.edu/~dmd1/scan19.pdf
    (Soru 36)

  2. Benzer Konular: Karmaşık Sayılarda
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Euler Formülü - Trigonometrik Özdeşlikler 17 Şubat 2020
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Esas Argüman (YKS 2020'de yok) 29 Ocak 2020
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Euler Bağıntısı 12 Aralık 2019
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Euler Denklemi ve De Moivre Formülü 26 Eylül 2019
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Grafik ve Eşitsizlik (YKS 2020'de yok) 10 Eylül 2019

Sayfayı Paylaş