Çözüldü Karmaşık Sayıların Trigonometrik İntegralde Kullanımı - Binom Açılımında Sabit Terim

University of Maryland'dan cevapsız bir problemin fen lisesi için zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zstel_15.png

i^2 = -1 Olmak üzere yukarıda verilen bilgiye ve cos(x) = [ e^(i·x) + e^(-i·x) ] / 2 eşitliğine göre f(t) = [ cos(2t) ]^6 eğrisinin yarım periyodunda yatay eksenle arasındaki alan kaç birim karedir?

f(t) = [ cos(2t) ]^6 fonksiyonu f(-t) = f(t) olduğundan çift fonksiyondur ve ordinatlar eksenine göre simetrik olup periyodu da π / 2'dir.
k Tek sayı olmak üzere f(k·π / 4) = 0 ile yarım periyodun (1 / 2)(π / 2) = π / 4 olduğu ve problemde verilen integral bağıntısı dikkate alınarak 2π / (π / 4) = 8 olduğundan [0, 2π] aralığındaki integral değerinin sekizde birinin hesaplanması gerekir.

cos(x) = [ e^(i·x) + e^(-i·x) ] / 2
cos(2t) = [ e^(i·2t) + e^(-i·2t) ] / 2
[ cos(2t) ]^6 = [ e^(i·2t) + e^(-i·2t) ]^6 / 64
[ e^(i·2t) + e^(-i·2t) ]^6 Açılımındaki n. sabit terimin katsayısı C(6, n)·{ [ e^(i·2t) ]^(6 - n) }·[ e^(-i·2t) ]^n
{ [ e^(i·2t) ]^(6 - n) }·[ e^(-i·2t) ]^n = 1
[ e^(i·12t - n·i·2t) ]·e^(-n·i·2t) = 1
e^(i·12t - n·i·2t - n·i·2t) = e^0
i·12t - n·i·4t = 0
n = 3
C(6, 3) = 6! / [ 3!·(6 - 3)! ] = 3!·4·5·6 / (6·3!) = 20
Aranan integral: (1 / 8)·[ (alt sınır t1 = 0, t2 = 2π)·∫ (20 / 64) ] = (1 / 8)·(20 / 64)·(2π - 0) = 5π / 64 Birim^2.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigo159.png

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigo161.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(1 / 8)*{ integrate [ cos(2t) ]^6 dt from t=0..2pi }

Sorunun Aslı:
https://www-math.umd.edu/images/pdfs/Math141/complexhamilton09.pdf
[Sayfa 13 (pdf dosyada 14), Sayfa sonundaki ilk alıştırma]