Çözüldü Karmaşık Sayılı Denklem-Logaritma-Kompleks Trigonometrik İfadeler-Ters Hiperbolik Tanjant Fonksiyonu

University of British Columbia - CA'dan çözümlü bir problemin fen lisesi için biraz zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması:

i = √-1, z bir kompleks sayı, ters hiperbolik tanjant fonksiyonu arctanh(x), (1 + x) / (1 - x) = e^( 2·arctanh(x) ),
cos(y) = ( e^(i·y) + e^(-i·y) ) / 2, sin(y) = ( e^(i·y) - e^(-i·y) ) / (2i) olmak üzere cos(2z) = 2i·sin(z) denkleminin köklerinden herhangi birini ters hiperbolik tanjant fonksiyonu cinsinden bulunuz (z = f(arctanh(x)) = ?)


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/komple26.png
https://personal.math.ubc.ca/~sjer/math300/solmt1.pdf
[ Sayfa 2, Soru 3.(c) ]
Not: ı ===> i

(1 + x) / (1 - x) = e^( 2·arctanh(x) ) ⇒ ln[ (1 + x) / (1 - x) ] = 2·arctanh(x) ⇒ (1 / 2)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] = arctanh(x)....(I)
(1 + x) / (1 - x) = 3 ⇒ 1 + x = 3 - 3x ⇒ 4x = 2 ⇒ x = 1 / 2....(II)
(II) değeri (I)'deki yerine yazılıp (1 / 2)·ln[ (1 + 1 / 2) / (1 - 1 / 2) ] = arctanh(1 / 2)
(1 / 2)·ln(3) = arctanh(1 / 2)....(III)
z = k·π - (ln(3) / 2)·i ve k = 0 için z = -i·(1 / 2)·ln(3)....(IV)
(III) eşitliği (IV)'te kullanılırsa z = -i·arctanh(1 / 2).

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/komple27.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=cos(z)=2i*sin(z)