Çözüldü Köklü Sayılar - İkinci Derece Denklemlere İndirgenebilirlik (2 Soru)

Konusu 'Matematik - Geometri' forumundadır ve Honore tarafından 8 Şubat 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.309
    Beğenileri:
    329
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    √(3 - √5) = ?
    A) 1 / (√3 + √5)
    B) √(3 + √5)
    C) -√(3 - √5)
    D) (√5 + 1) / (2√2)
    E) (√5 - 1) / √2

    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1948170838838510&set=pcb.1515318315251805&type=3&theater

    Sınavda hiçbir şey yapamayıp sadece tahmin etmek durumuında kalınırsa en azından C seçeneği dışında kalanlardan birinin işaretlenmesi gerekir çünkü aksi takdirde;
    √(3 - √5) = - √(3 - √5) ⇒ 2√(3 - √5) = 0 ⇒ √(3 - √5) = 0 olması gerekir ki bunun yanlışlığı açıktır.

    3 - √5 = (a - b√5)^2 = a^2 - 2ab√5 + 5b^2 eşitliğinden a^2 + 5b^2 = 3....(I) ve 2ab√5 = √5 ⇒ b = 1 / 2a....(II) yazılır.

    (II) değeri (I) eşitliğinde yerine konup düzenlenirse 4a^4 - 12a^2 + 5 = 0 ve a^2 = t değişken dönüşümüyle 4t^2 - 12t + 5 = 0 ikinci derece denklemi haline gelir ve ilgili formülü (yarım Delta ile) kullanılırsa;
    t = { -(-12 / 2) ∓ √ [ (-12 / 2)^2 - 4·5 ] } / 4
    t1 = 5 / 2 = (a1)^2 ⇒ a1 = √5 / √2 ⇒ b1 = 1 / √10 olup bu değerler için kontrol edilirse;
    a - b√5 = √5 / √2 - (1 / √10)√5 = √5 / √2 - 1 / √2 = (√5 - 1) / √2 (E şıkkı) bulunarak t2 için kontrol yapmaya gerek kalmaz.

    WolframAlpha Kontrolu:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=√(3 - √5) = (√5 - 1) / √2
    ---
    x - √(2x) = 3 ⇒ x - √(2 / x) = ?

    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=323829704726634&set=g.1157240644348123&type=1&theater&ifg=1

    x - √(2x) = 3 ⇒ x^2 - 8x + 9 = 0 ⇒ x = 4 ∓ √7 ancak sadece x = 4 + √7 ⇒ x - √(2x) = 3....(0) eşitliği sağlanır.
    √(2x) = x - 3 = 4 + √7 - 3 = 1 + √7 ve x - √(2 / x) = x - √(2x) / x olup sayısal değerleriyle;
    4 + √7 - (1 + √7) / (4 + √7) ve ikinci terimdeki payda rasyonel yapılırsa;
    4 + √7 - (1 + √7)(4 - √7) / 9 =
    4 + √7 - (-3 + 3√7) / 9 =
    4 + √7 + (1 - √7) / 3 =
    (13 + 2√7) / 3 ≈ 6,09...
    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4 + sqrt(7) - sqrt(2/(4 + sqrt(7)))
    ---
    (0) eşitliğinin kontrolu:
    4 + √7 = (a + b√7)^2 = a^2 + 2ab√7 + 7b^2
    a^2 + 7b^2 = 4....(I)
    2ab√7 = √7 ⇒ b = 1 / (2a)....(II)
    (II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılıp düzenlenirse 4a^4 - 16a^2 + 7 = 0 ve a^2 = t değişken dönüşümüyle 4t^2 - 16t + 7 = 0 ve t1 = 7 / 2 ve t2 = 1 / 2 olur.
    a^2 = 7 / 2 ⇒ a = ∓√(7 / 2) ⇒ b = ∓1 / √14 olup bu değerler için (I) eşitliği sağlanmadığından a^2 = 1 / 2 ⇒ a = ∓1 / √2 ⇒ b = ∓1 / (2 / √2) = ∓1 / √2 olup bu değerlerle (I) eşitliği geçerlidir.
    O halde (+) işaretli olanlarla; x = 4 + √7 için x - √(2x) =
    4 + √7 - (√2)√(4 + √7) = 4 + √7 - (√2)√[ (1 / √2 + √7 / √2)^2 ] =
    4 + √7 - (√2)[ (1 + √7) / √2 ] =
    4 - 1 = 3
    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4+sqrt(7)-sqrt(2(4+sqrt(7)))=

  2. Benzer Konular: Köklü Sayılar
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Cebirsel Özdeşlikler - Kareköklü Sayılar - Mutlak Değer 7 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Trigonometri - Köklü Sayılar 3 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Kareköklü Sayılar - Çarpanlara Ayırma 10 Haziran 2018
    Rasyonel ve Ondalıklı Sayılar, Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Mutlak Değer, Taban Aritmetiği Üç Terimli Kareköklü Sayılarda Rasyonelleştirme 10 Haziran 2018
    Matematik - Geometri Kareköklü Sayılarda Sıralama 5 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş