Çözüldü Köşegen Uzunluğu Bilinen Bir Düzgün Çokgenin Kenar Uzunluğu - Trigonometri - Kareköklü Sayılar

SAT hazırlık sorularından birinin AYT için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Kenar ve köşegen uzunlukları sırasıyla a ve b olarak bilinen n kenarlı düzgün bir çokgen için b = 2a·sin[ (n - 2)·90° / n ] bağıntısıyla cos(72°) = (√5 - 1) / 4 bilindiğine göre köşegen uzunluğu 10 birim olan bir düzgün ongenin kenar uzunluğu kaç birimdir?

A) 10 + 5·√5
B) 50 + 10·√5
C) 50 - 10·√5
D) (50 + 10·√5)^0,5
E) (50 - 10·√5)^0,5

10 = 2a·sin[ (10 - 2)·90° / 10 ] ⇒ a = 5 / sin(72°)....(I)
sin(72°) = { 1 - [ (√5 - 1) / 4 ]^2 }^0,5 = (10 + 2·√5)^0,5 / 4....(II)
(II) eşitliği (I)'de kullanılıp payda rasyonelleştirilierek sadeleştirilince a = { (10 + 2·√5)^0,5 }·(10 - 2·√5) / 4
a = [ (10 + 2·√5)(10 - 2·√5)(10 - 2·√5) ]^0,5 / 4
a = (50 - 10·√5)^0,5.

Kaynak: https://www.geeksforgeeks.org/length-of-diagonal-of-a-n-sided-regular-polygon/

Sorunun Aslı:

https://i.ibb.co/F7tqbxd/SAT.png
https://images.collegedunia.com/public/college_data/images/entrance/sample_paper/1654341917Math Level 2 SAT Practice Test 14.pdf
(Son Sayfa, 14. Soru)

Not: (50 - 10·√5)^0,5 = 5,257... ≈ 5,3.