Çözüldü Koşullu Olasılık - Bayes Teoremi

University of Massachusetts - Lowell'dan çözümlü bir örnek:

Bir araştırmaya göre her 43 çocuktan 1 tanesi, yetişkinlikte ortaya çıkan belli bir hastalığa yakalanmakta ve tam güvenilir olmamasına rağmen yapılan test sonuçlarına göre, hastalıklı bir çocuğun testi %80 pozitif, sağlıklı bir çocuğun testi ise %10 pozitif sonuç vermektedir. Bu bilgilere göre test sonucu pozitif olan bir çocuğun gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

D olayı çocuğun hastalanmasını, T olayı da çocuğa yapılan testin pozitif çıkmasını göstersin.
Aranan olasılık P(D | T), yani testi pozitif olan çocuğun hasta olması ve Bayes Kuralı gereğince;

P(D | T) = P(D)·P(T | D) / [ P(D)·P(T | D) + P(D')·P(T | D') ]
P(D | T) = (1 / 43)·0,8 / [ (1 / 43)·0,8 + (42 / 43)·0,1 ] = 8 / 50 = 4 / 25 = 0,16

Sorunun Aslı:
"Suppose that one child out of forty-three suffers from a particular disease that only emerges when the child reaches adulthood. There is a (not completely reliable) test for the condition: when a child who has the disease takes the test, it comes up positive 80% of the time, and when a child who does not have the disease takes the test, it comes up positive only 10% of the time. What is the chance that an individual child has the disease, given that the child tested positive?"
http://faculty.uml.edu/jpropp/courses/431/sols1.pdf (Sayfa 4-5, Soru 4)
Not: Sorunun aslının çözümündeki D^c, D olayının değilini (complement) göstermektedir.