Çözüldü Kübik Polinom Fonksiyonunun Kökleri ve Katsayılar Toplamı (Lise programında çözümü var mı?)

https://i.ibb.co/xFDjB7r/polinom2.png
https://scontent.fayt2-1.fna.fbcdn....=edd14001f655ee10a5c440b2ecdcc7cc&oe=60CEFEC3
https://www.facebook.com/photo?fbid=522413309112551&set=gm.2263973887073475

-2 olabilir çünkü;

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d üçüncü derece genel polinom fonksiyonunun diskriminantı,
Δ = (b^2)·(c^2) - 4a·(c^3) - 4(b^3)·d - 27(a^2)·(d^2) + 18·a·b·c·d olarak yazılır.
https://brilliant.org/wiki/cubic-discriminant/

a = 1 ve b = 0 için Δ = -4·(c^3) - 27·(d^2) olur.
Δ > 0 durumunda üç farklı gerçek kök vardır.
Probleme göre iki gerçel kök katlı (multiple) olmadığından üçüncü kök de gerçeldir.
P(x) = x^3 + k·x + 12 üçüncü derece polinomumun diskriminantı için Δ = -4·(k^3) - 27·(12^2) > 0 eşitsizliğinden k < -3·[ 36^(1 / 3) ] ve 36 > 27 ⇒ 3·[ 36^(1 / 3) > 9 olup k < -9 olmalıdır.
Sorunun seçeneklerine göre katsayılar toplamının bir tamsayı olabilmesi k sayısının da yine bir tam sayı olmasını gerektirir.
k = -19 için P(x) = x^3 - 19x + 12 = 0 denkleminin bir kökü P(4) = 0 nedeniyle x = 4'tür.
Buradan itibaren çözüm ancak -19 < k ≤ -10 eşitsizliğine uygun k ∈ Z^(-) değerlerinin denenmesiyle yapılabilir diye düşünüyorum.
k1 = -10 için katsayılar toplamı: KT1 = 1 - 10 + 12 = 3
k2 = -11 için katsayılar toplamı: KT2 = 1 - 11 + 12 = 2
...
Azalma olduğundan seçeneklere göre ilk mümkün olan sayı -2'dir.

Not:
k3 = -12 için katsayılar toplamı: KT3 = 1 - 12 + 12 = 1
k4 = -13 için katsayılar toplamı: KT4 = 1 - 13 + 12 = 0
k5 = -14 için katsayılar toplamı: KT5 = 1 - 14 + 12 = -1
k6 = -15 için katsayılar toplamı: KT6 = 1 - 15 + 12 = -2