Çözüldü Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu (YKS Kapsamında değil) - Trigonometrik İntegral ve Türev

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 10 Mayıs 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.437
    Beğenileri:
    379
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    r = 2(1 - cosθ) kardiodinin r = -6cosθ dairesi içinde kalan kısmının uzunluğunu hesaplayınız.
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=42b149be90e7b678d3876a859d638ca5&oe=5D2B51D7
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=140388997096836&set=g.703383433087490&type=1&theater&ifg=1

    Kesim noktalarının bulunması için eğriler kesiştirilirse -6cosθ = 2(1 - cosθ) ⇒ cosθ = -1 / 2 ve k ∈ Z olmak üzere θ = ∓2π / 3 + k·2π
    k1 = 0, θ1 = 2π / 3
    k2 = 1, θ2 = -2π / 3 + 2π = 4π / 3
    r ' = dr / dθ = 2sinθ
    Yay uzunluğu: L = (alt sınır θ1 = 2π / 3, üst sınır θ2 = 4π / 3), ∫ { [ 2(1 - cosθ) ]^2 + (2sinθ)^2 }^0,5 dθ
    L = (alt sınır θ1 = 2π / 3, üst sınır θ2 = 4π / 3), 2∫ √(2 - 2cosθ) dθ
    L = (alt sınır θ1 = 2π / 3, üst sınır θ2 = 4π / 3), 2(√2)∫√(1 - cosθ)dθ ve cosθ = 1 - 2{ [ sin(θ / 2) ]^2 } yazılarak düzenlenirse;
    L = (alt sınır θ1 = 2π / 3, üst sınır θ2 = 4π / 3), 4∫sin(θ / 2)dθ
    L = (alt sınır θ1 = 2π / 3, üst sınır θ2 = 4π / 3), 8[ -cos(θ / 2) ]
    L = -8[ cos(2π / 3) - cos(π / 3) ]
    L = -8(-1 / 2 - 1 / 2)
    L = -8(-1)
    L = 8 birim

    Notlar:
    1. Simetri nedeniyle sadece x ekseninin üzerindeki kısmın θ1 = 2π / 3 ile θ2 = π arasındaki yay uzunluğu (4) bulunup iki katı alınarak da hesaplanabilir.
    2. A (ve simetriği C) noktasının koordinatlarının hesaplanması için fonksiyonun denkleminde θ1 = 2π / 3 konularak r = 3 olup, apsis için 3cos(180° - 120°) = -3cos60° = -3/2 ve ordinat için de 3sin(180° - 120°) = 3sin60° = 3(√3) / 2 bulunur.
    3. Tüm işlemler x = r·cosθ ve y = r·sinθ dönüşümleriyle kartezyen koordinatlara geçilerek de yapılabilir.

    Grafik:
    [​IMG]
    https://ibb.co/wpPMDCQ

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/YRb4r2F/Kutupsal-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=arclength of r=2(1-cos(theta)) between theta = 2pi/3 and 4pi/3

    Kaynaklar:
    https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/65802/mod_resource/content/0/6. Hafta.pdf
    http://sites.millersville.edu/bikenaga/calculus/arc-length-in-polar/arc-length-in-polar.html

  2. Benzer Konular: Kutupsal Koordinatlarda
    Forum Başlık Tarih
    Diğer Kutupsal (Polar) Fonksiyonlar - Kapalı Türev - Doğrunun Analitiği 25 Mayıs 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar ve Kutupsal Koordinatlar 18 Şubat 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar ve Kutupsal Koordinatlar 21 Ocak 2016
    Analitik Geometri Ve Uzay Geometrisi Eğrinin kutupsal denklemi 18 Eylül 2012

Sayfayı Paylaş