Çözüldü Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) Yöntemi

y'' + y = 2[ (secx)^3 ]....(0)

Karakteristik denklem: r^2 + 1 = 0 ⇒ r = ∓1·i
Genel Çözüm: y = A·cos(1·x) + B·sin(1·x) = Acosx + Bsinx....(I)
Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) Yöntemi ile;
y' = A'cosx - Asinx + B'sinx + Bcosx....(II)
Prof. Ahmet A. Karadeniz'in ifadesiyle "Bütünler Şart", A'cosx + B'sinx = 0....(III) olup bu eşitlik (II) denkleminde yerine yazılırsa;
y' = -Asinx + Bcosx....(IV) ⇒ y'' = -A'sinx - Acosx + B'cosx - Bsinx....(V)
(V) ve (I) eşitlikleri (0) denkleminde yerlerine konulup;
-A'sinx - Acosx + B'cosx - Bsinx + Acosx + Bsinx = 2[ (secx)^3 ]
-A'sinx + B'cosx = 2[ (secx)^3 ]....(VI)
(III) ve (VI) denklemleri çözülürse [ (III) denklemi sinx ile, (VI) denklemi de cosx ile çarpılıp taraf tarafa toplanarak ];
B'[ (sinx)^2 + (cosx)^2 ] = 2[ (secx)^2 ]
B' = 2[ (secx)^2 ]....(VII) ⇒ B = 2∫[ (secx)^2 ]dx + C2 = 2tanx + C2....(VIII)
(VII) ifadesi (III) eşitliğinde yerine yazılırsa; A'cosx + 2[ (secx)^2 ]·sinx = 0 ⇒ A = -2∫{ sinx / [ (cosx)^3 ] }dx ve bu integralin çözümü için u = cosx değişken dönüşümüyle;
-sinxdx = du ile A = 2∫[ u^(-3) ]du = -1 / u^2 + C1 = -(secx)^2 + C1....(IX)
(VIII) ve (IX) eşitlikleri (I) Genel Çözümünde yerlerine yazılarak tam çözüm;
y = [ -(secx)^2 + C1 ]·cosx + (2tanx + C2)·sinx
y = C1·cosx - secx + 2[ (sinx)^2 ]·secx + C2·sinx
y = C2·sinx + C1·cosx + { 2[ (sinx)^2 ] - 1 }·secx
cos2x = 1 - 2[ (sinx)^2 ] olduğundan;
y = C2·sinx + C1·cosx - (cos2x)·secx.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/BsFRHp8/z-m.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+y=2sec^3(x)