Çözüldü Limit - MacLaurin Serisi

lim (x → 0) [ (1 + x)^(1 / x) - e ] / x = ?
https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=8acdad5c407187084f38ad552e4bf0c0&oe=5D563839
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=435226770623801&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

A = (1 + x)^(1 / x)
lnA = (1 / x)ln(1 + x)
A = e^[ (1 / x)ln(1 + x) ]
f(x) = [ ln(1 + x) ] / x
g(x) = ln(1 + x) ifadesi x = 0 için g(x) = g(0) + [ (x^1) / 1! ]·g '(0) + [ (x^2) / 2! ]·g ''(0) + ... + [ (x^n) / n! ]· g^(n)(0) MacLaurin Serisi olarak açılırsa;
g '(x) = 1 / (1 + x)
g ''(x) = -1 / [ (1 + x)^2 ]
...
g(0) = 0, g '(0) = 1, g ''(0) = -1
g(x) = 0 + (x / 1)·1 + [ (x^2) / 2 ](-1) + ...
g(x) = x - x^2 / 2 + ...
f(x) = g(x) / x = 1 - x / 2 + ...
A = e^(1 - x / 2 + ...)
lim (x → 0) [ (1 + x)^(1 / x) - e ] / x =
lim (x → 0) (A - e) / x =
lim (x → 0) [ e^(1 - x / 2 + ...) - e ] / x ve devem eden 0 / 0 belirsizliği için L'Hopital Kuralı ile;
lim (x → 0) (-1 / 2)[ e^(1 - x / 2 + ...) - 0 ] / 1 =
(-1 / 2)lim (x → 0) e^(1 - x / 2 + ...) =
(-1 / 2)e^(1 - 0 + 0 - ...) =
-e / 2

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit610.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim [ (1+x)^(1/x)-e ] / x as x goes to 0