Çözüldü Limit - Türev - İntegral (7 Soru)

Sitede yanlış bölüme ve uygun olmayan bir başlıkla gönderilmişti. Böyle problemler yapılamadan üniversiteye nasıl girilebiliyor hayret ediyorum ve yazıklar olsun böyle eğitimle seçme sınavına!

lim (x → 0) x^sin(x) = ?

lim (x → 0) x^sin(x) = 0^0 belirsizliği
A = x^sin(x)
ln(A) = [ sin(x) ]·ln(x)
ln(A) = [ sin(x) ] / [ 1 / ln(x) ]
lim (x → 0) [ ln(A) ] = lim (x → 0) { [ ln(x) ] / csc(x) }
ln[ lim (x → 0) A ] = lim (x → 0) { [ ln(x) ] / csc(x) } = ∞ / ∞ belirsizliğine döndüğü için L'Hospital Kuralı uygulanarak;
ln[ lim (x → 0) A ] = lim (x → 0) (-1 / x) / { [ -cosc(x) ]·[ cot(x) ] }
ln[ lim (x → 0) A ] = lim (x → 0) { [ sin(x) ] / x }·tan(x)
ln[ lim (x → 0) A ] = 1·0 = 0
lim (x → 0) A = e^0
lim (x → 0) x^sin(x) = 1.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (x → 0) x^sin(x) = ?
---
∫ dx / [ (x^2 + a^2)^(3 / 2) ] = ?

x = a·tan(θ) ⇒ dx = a·{ [ sec(θ) ]^2 }dθ değişken dönüşümüyle integralin yeni şekli;
[ tan(θ) ]^2 + 1 = [ sec(θ) ]^2 olduğundan,
∫ a·{ [ sec(θ) ]^2 }dθ / [ a·sec(θ) ]^3 =
(1 / a^2)·∫ cos(θ)dθ = (1 / a^2)·sin(θ) + C =
(1 / a^2)·[ x / √(x^2 + a^2) ] + C =
x / [ a·√(x^2 + a^2) ] + C.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ dx / [ (x^2 + a^2)^(3 / 2) ] = ?
---
lim (x → 0) [ √(1 + sinx) - √(1 - sinx) ] / x = ?

lim (x → 0) [ √(1 + sinx) - √(1 - sinx) ] / x = 0 / 0 belirsizliği olduğundan pay ve payda, pay'ın eşleniği ile çarpılırsa;
lim (x → 0) (1 + sinx - 1 + sinx) / { x·[ √(1 + sinx) + √(1 - sinx) ] } =
lim (x → 0) 2·[ (sinx) / x ]·1 / { [ √(1 + sinx) + √(1 - sinx) ] } =
2·1·1 / [ √(1 + 0) + √(1 - 0) ] = 1.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (x → 0) [ √(1 + sinx) - √(1 - sinx) ] / x =
---
lim (x → 0) log(1 - cosx) / log(x) = ?

lim (x → 0) log(1 - cosx) / log(x) = ∞ / ∞ belirsizliği olduğundan L'Hospital Kuralı ile;
lim (x → 0) [ sinx / (1 - cosx) ] / (1 / x) = lim (x → 0) (x·sinx) / (1 - cosx) = 0 / 0 nedeniyle tekrar L'Hospital Kuralı uygulanıp,
lim (x → 0) (sinx + x·cosx) / (sinx) = 0 / 0 belirsizliği devam ettiğinden yine L'Hospital Kuralı uygulanarak,
lim (x → 0) (cosx + cosx - x·sinx) / (cosx) = (1 + 1 - 0) / 1 = 2.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (x → 0) log(1 - cosx) / log(x) =
---
(x^2 + y^2)^2 = (3a^2)(x^2 - y^2) ⇒ dy / dx = y' = ?

2(x^2 + y^2)(2x + 2y·y') = (3a^2)(2x - 2y·y')
2(x^2 + y^2)(x + y·y') = (3a^2)(x - y·y')
2x^3 + (2x^2)·y·y' + 2x·(y^2) + 2y·y' = (3a^2)·x - (3a^2)·y·y'
(2x^2)·y·y' + 2y·y' + (3a^2)·y·y' = (3a^2)·x - 2x^3 - 2x·(y^2)
(y')·[ (2x^2)·y + 2y + (3a^2)·y ] = (3a^2)·x - 2x^3 - 2x·(y^2)
y' = [ (3a^2)·x - 2x^3 - 2x·(y^2) ] / [ (2x^2)·y + 2y + (3a^2)·y ].

Not: WolframAlpha, kapalı türev (implicit derivative) konusunda henüz bilgi sahibi olamamış.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2 + y^2)^2 = (3a^2)(x^2 - y^2), dy / dx = ?
---
y = (1 / 3)·(tanx)^3 - tanx + x ⇒ dy / dx = y' = ?

y' = (1 / 3)·3·[ (tanx)^2 ]·[ (secx)^2 ] - [ (secx)^2 ] + 1
y' = [ (secx)^2 ]·[ (tanx)^2 - 1 ] + 1
y' = [ (tanx)^2 + 1 ]·[ (tanx)^2 - 1 ] + 1
y' = (tanx)^4 - 1 + 1
y' = (tanx)^4.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)((1 / 3)·(tanx)^3 - tanx + x)=?
("Alternate forms:" başlığı altındaki ilk sonuç)
---
y = x·log(x) ⇒ dy / dx = y' = ?

y' = log(x) + x·(1 / x)
y' = log(x) + 1.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(x·log(x))=?
---
Soruların Aslı:
https://i.ibb.co/FgDW2G0/sorular1.png
https://i.ibb.co/6PNm9xX/sorular2.png