Çözüldü Limit

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Cem tarafından 22 Mayıs 2012 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.806
    Beğenileri:
    265
    Üni. öğrencilerine soruldu:

    [​IMG] limitini seriye açmadan ve l'Hôpital kullanmadan bulunuz.

  2. Benzer Konular: Limit
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Limit 16 Mayıs 2017
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Limit 25 Nisan 2017
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Limit 22 Mart 2017
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türevin Limit Tanımı 23 Ağustos 2016
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Seri Toplamı Limiti (Riemann İntegrali) 5 Temmuz 2016

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.646
    Beğenileri:
    254
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Cem Hocam, ilk kez sizin çözümlerinizde gördüğüm "denklik" ve "e"nin limit tanımıyla yaptım:

    x → 0 için cosx ≈ 1 - (x^2 / 2) olduğundan;

    lim (x → 0) (cosx)^(2 / x^2) ≈ lim (x → 0) [ 1 - (x^2 / 2) ]^(2 / x^2) =

    lim (x → 0) [ 1 - (x^2 / 2) ]^(2 / x^2) =

    lim (x → 0) [ 1 + (-1) / (2 / x^2) ]^(2 / x^2)....(I)

    p = 2 / x^2 değişken dönüşümüyle (I) limiti;

    lim (p → ∞) [ 1 + (-1) / p ]^p = e^(-1) = 1 / e

    Kaynak: https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
    ---
    Lise kapsamında da olan "L'Hospital Kuralı" ile çözüm:

    A = (cosx)^(2 / x^2)

    ln(A) = (2 / x^2)·ln(cosx) = [ ln(cosx) ] / (x^2 / 2)

    lim (x → 0) ln(A) = lim (x → 0) [ ln(cosx) ] / (x^2 / 2) = 0 / 0 belirsizliği nedeniyle L'Hospital Kuralı uygulanırsa;

    ln[ lim (x → 0) A ] = lim (x → 0) (-tanx) / x = -1 = -ln(e) = ln[ e^(-1) ]

    lim (x → 0) A = e^(-1)

    lim (x → 0) [ (cosx)^(2 / x^2) ] = 1 / e

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (cos(x))^(2 / x^2) as x goes to 0

Sayfayı Paylaş