Çözüldü Limit

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Cem tarafından 21 Kasım 2012 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.738
    Beğenileri:
    272
    Ynt: Limit

    Çözüm:

    [​IMG]
  2. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.738
    Beğenileri:
    272
  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.793
    Beğenileri:
    264
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Cem Hocam şöyle yaptım;
    Riemann İntegrali;

    lim (n → ∞) (1 / n) Σ (alt sınır k = 1, üst sınır k = n) { 1 / [ 1 + (k / n) ] = ∫ dx / (1 + x), (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1)

    olduğundan;

    x → ∞ için x ve x - 1 arasında fark olmayıp,

    lim (x → ∞) Σ (alt sınır n = 1, üst sınır n = x - 1) [ x^2 / (x^3 + n^3) ] =

    lim (x → ∞) Σ (alt sınır n = 1, üst sınır n = x - 1) { (1 / x) / [ 1 + (n / x)^3 ] } =

    lim (x → ∞) (1 / x) Σ (alt sınır n = 1, üst sınır n = x - 1) { 1 / [ 1 + (n / x)^3 ] } =

    ∫ dx / (1 + x^3), (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1)....(I) olarak yazılabilir.

    1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)

    1 / (1 + x^3) ≡ A / (1 + x) + (Bx + C) / (1 - x + x^2) şeklinde basit kesirlere ayrılarak sağ taraf düzenlenirse;

    1 ≡ (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + A + C ve buradan;

    A + B = 0, -A + B + C = 0, A + C = 1 denklem sisteminden A = 1 / 3, B = -1 / 3, C = 2 / 3 bulunur ve (I) integrali de;

    (1 / 3)∫ dx / (x + 1), (alt sınır 0, üst sınır 1) + ∫ [ (-x / 3 + 2 / 3) dx / (x^2 - x + 1) ], (alt sınır 0, üst sınır 1) =

    (1 / 3)∫ dx / (x + 1), (alt sınır 0, üst sınır 1) - (1 / 3)∫ [ (x - 2)dx / (x^2 - x + 1) ], (alt sınır 0, üst sınır 1) =

    (1 / 3)∫ dx / (x + 1), (alt sınır 0, üst sınır 1) - (1 / 6)∫ [ (2x - 1 - 3)dx / (x^2 - x + 1) ], (alt sınır 0, üst sınır 1) =

    (1 / 3)∫ dx / (x + 1), (alt sınır 0, üst sınır 1) - (1 / 6)∫ [ (2x - 1)dx / (x^2 - x + 1) ], (alt sınır 0, üst sınır 1) +
    (1 / 2)∫ { dx / [ x^2 - x + 1 + (1 / 4) - (1 / 4) ] }, (alt sınır 0, üst sınır 1) =

    (1 / 3)·|ln(x + 1)|, (alt sınır 0, üst sınır 1) - (1 / 6)·|ln(x^2 - x + 1)|, (alt sınır 0, üst sınır 1) + (1 / 2)∫ { dx / [ (x - 1 / 2)^2 + (3 / 4) ] } =

    (1 / 3)·ln(2) - 0 + (1 / 2)∫ { dx / [ (x - 1 / 2)^2 + (3 / 4) ] }....(II) haline gelir ve integralin hesaplanması için x - (1 / 2) = [ (√3) / 2 ]·tanθ değişken dönüşümü yapılırsa;

    x1 = 0 ⇒ θ1 = arctan(-1 / √3) = -π / 6

    x2 = 1 ⇒ θ2 = arctan(1 / √3) = π / 6

    dx = { [ (√3) / 2 ]·(secθ)^2 }dθ dönüşümleriyle;

    (1 / 2)∫ { dx / [ (x - 1 / 2)^2 + (3 / 4) ] } = (1 / 2)∫ { [ (√3) / 2 ]·(secθ)^2 }dθ / [ (3 / 4)(secθ)^2 ], (alt sınır -π / 6, üst sınır π / 6) =

    [ 2(√3) / 3 ]∫ dθ, (alt sınır 0, üst sınır π / 6) = [ 2(√3) / 3 ]·|θ|, (alt sınır 0, üst sınır π / 6) = π(√3) / 9 olup (II) ifadesi de;

    (1 / 3)·ln(2) + π(√3) / 9 =

    (1 / 9)·[ π√3 + ln(8) ] bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (sum x^2/(x^3+n^3), n=1 to x-1) as x goes to infinity
Benzer Konular: Limit
Forum Başlık Tarih
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Limit 6 Aralık 2017
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Limit 5 Ekim 2017
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Limit 30 Eylül 2017
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Limit 6 Eylül 2017
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Limit 16 Mayıs 2017

Sayfayı Paylaş