Çözüldü Logaritmik Denklem - Ortalama Değer Teoremi

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/logari19.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=137977517438586&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Çözüm - 1
f(x) = lnx - (2x / e) + 1
x = 0 ⇒ f(0) = -∞ < 0
x = 1 ⇒ f(1) = 0 - (2 / e) + 1 = (e - 2) / e > 0 çünkü e = 2,71...
Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem) gereğince 0 < x < 1 aralığında 1 kök vardır.
x = e ⇒ f(e) = 1 - (2e / e) + 1 = 0 olduğundan x = e ikinci köktür ve x > e için f(x) daima negatiftir
[örneğin, x = e^2 için f(e^2) = 3 - 2e < 0] ve başka kök yoktur.
Sonuç olarak, f(x) = lnx - (2x / e) + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi 2 elemanlıdır.
---
Çözüm - 2:
g(x) = lnx + 1 ve h(x) = 2x / e fonksiyonları olmak üzere;
g(x) için x = 0 doğrusu yani y ekseni düşey asimptot ve g '(x) = (x + 1 ) / x > 0 nedeniyle g(x) daima artandır.
h(x) orijinden geçen ve h '(x) = 2 / e > 0 nedeniyle daima artandır.
g(x) = h(x) yapılarak lnx + 1 = 2x / e denkleminin x = e çözümüyle iki fonksiyon x = e noktasında kesişecek şekilde çizilip 0 < x < e aralığındaki bir x değerinde daha kesiştikleri görülür ve bu nedenle de çözüm kümesi 2 elemanlıdır.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/logari18.png

Not: 0 < x < e aralığındaki x ≈ 0,5523... kökü herhangi bir Sayısal Çözümleme (Numerical Analysis) yöntemi ile veya aşağıdaki gibi WolframAlpha'ya yaptırılarak kolayca hesaplanabilir.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=log(x)-2x/e+1=0