Çözüldü Modüler Aritmetik (5 Soru)

Konusu 'Mantık,Kümeler,Bağıntı ve Fonksiyon,İşlem ve Moduler Aritmetik' forumundadır ve Honore tarafından 23 Haziran 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/modzle10.png
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2112880985500387&set=gm.1580835285387342&type=3&theater&ifg=1
    (Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

    Soru - 1
    x^2 + 6x + 3 = 0 denkleminin kökleri tamsayı olmadığından çözüm kümesi boş kümedir.
    Not: x^2 + 6x + 3 ifadesi Z/5'te x^2 + 1·x + 3 olarak yazıldığında da reel kökler yoktur.
    ---
    Soru - 2
    f(x) = 2x + 4 ⇒ 2x = f(x) - 4 ⇒ x = [ f(x) - 4 ] / 2 ⇒ f^(-1)(x) = (x - 4) / 2 = [ 2^(-1) ](x - 4)....(I)
    2^(-1), Z/5'te 2'nin çarpmaya göre tersidir ve 3'e eşittir çünkü 2·3 = 6 ≡ 1(Mod 5)....(II)
    -4, Z/5'te 4'ün toplama göre tersidir ve 1'e eşittir çünkü 4 + 1 = 5 ≡ 0(Mod 5)....(III)
    (II) ve (III) değerlerine göre (I) ters fonksiyonu Z/5'te 3(x + 1) = 3x + 3 olur.
    ---
    Soru - 3
    x^2 + 9x + 20 ≡ (x^2 + 4x + 0)(Mod5) = (x^2 + 4x)(Mod 5) olacak. Soruyu soranın sonradan fark ettiğim açıklaması doğrudur, kendisine teşekkür ederim.

    Aşağıdaki ilk çözüm hatalı çünkü çözüm kümesi istenmiyor.
    x + 4 = 0 ⇒ x = -4
    x + 5 = 0 ⇒ x = -5
    -4 ve -5 (Mod 5) = 1 ve 0
    Ç.K. = {0, 1}
    ---
    Soru - 4
    2^5 = [ (-5)^5 ] (Mod 7)
    3^5 = [ (-4)^5 ] (Mod 7)
    1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 ≡ x(Mod 7)
    1^5 + (-5)^5 + (-4)^5 + 4^5 + 5^5 ≡ x(Mod 7)
    1 ≡ x(Mod 7)
    x = 1
    ---
    Soru - 5
    3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^100 toplamı ilk terimi 1, ortak çarpanı 3 olan 101 terimli geometrik dizinin toplamıdır ve değeri de;
    (3^0)(3^100 - 1) / (3 - 1) = (3^100) / 2 - 1 / 2 olur.
    3^1 ≡ 3(mod 5)
    3^2 ≡ 4(mod 5)
    3^3 ≡ 2(mod 5)
    3^4 ≡ 1(mod 5)
    ...
    (3^4)^25 = 3^100 ≡ (1^25)(mod 5)
    3^100 ≡ 1(mod 5) olduğundan,
    1 / 2 ≡ (1 / 2)(Mod 5)....(II)
    (-1 / 2) ≡ (9 / 2)(Mod 5)....(III)
    (II) - (III) yazılırsa (-8 / 2)(Mod 5) = -4(mod5) ≡ 1(Mod 5) bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(sum_(n=0)^100 3^n,5)=
    ---
    5. Soru için ek açıklamalar:
    Burada önce bir geometrik serinin sınırlı sayıdaki terimlerinin toplamı hesaplanıyor ve bunun için kullanılan formül;
    ilk terim: a1
    n. terim: a(n)
    ortak çarpan da r olmak üzere: Toplam = a1·[ (a(n) - 1) / (r - 1) ]
    Probleme göre;
    ilk terim: a1 = 3^0 = 1
    n. terim: a(n) = 3^100
    ortak çarpan: r = 3

    Toplam = 1·(3^100 - 1) / (3 - 1) = (3^100 - 1) / 2 = [ 2^(-1) ]·(3^100 - 1) = [ 2^(-1) ]·(3^100) - [ 2^(-1) ]....(IV)

    3^100 ≡ 1(Mod 5)....(V) denkliği yukarıda gösterildi.
    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(3^100,5)=

    Yine 2^(-1) = 1 / 2 ≡ (1 / 2)(Mod 5)....(VI) yazılır.
    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(1/2,5)=

    (V) ve (VI) çarpıldığında (IV) eşitliğinde ilk terim 1 / 2....(VII) olur.

    (IV) eşitliğindeki son terim olan -1 / 2 ise Z/5'te -1 / 2 + 5 = (-1 + 10) / 2 = 9 / 2....(VIII) olur.
    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(-1/2,5)=

    (VII) ve (VIII) değerleri (IV) eşitliğindeki yerlerine yazılırsa 1 / 2 - 9 / 2 = -4 olur ki bu sayı da Z/5 için 1'dir çünkü
    -4 - 1 = -5 ≡ 0(Mod 5)'dir.
    Son düzenleme: 24 Haziran 2019

  2. Benzer Konular: Modüler Aritmetik
    Forum Başlık Tarih
    Dörtgenler ve Çokgenler Düzgün Altıgen - Modüler Aritmetik 11 Mart 2024
    Doğal Sayılar,Tam Sayılar,Bölme Bölünebilme,EBOB-EKOK Toplam Sembolü - Modüler Aritmetik - Bölünebilme - Programlama 18 Şubat 2024
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Modüler Aritmetik ile Problem Çözümü 4 Ekim 2023
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Modüler Aritmetik 28 Temmuz 2023
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Modüler Aritmetik 2 Temmuz 2023

Sayfayı Paylaş